Cho hai đa thức:

\(A = 2xy\left( {x{y^2} - 3{x^2}y + 1} \right)\) và \[B = \left( {12{x^4}{y^5} - 36{x^5}{y^4} + 6{x^3}{y^3}} \right):6{x^2}{y^2}.\]

Đa thức \(M\) thỏa mãn \(A = M + B.\)

a) Bậc của đa thức \[A\] là 8.

b) Hệ số tự do của đa thức \(B\) là 2.

c) Giá trị của biểu thức \(B\) tại \[x = - 1\,;\,\,y = 1\] là 12.

d) \(M\)là một đơn thức.

Hướng dẫn giải

Đáp án:               a) Đúng.         b) Sai.             c) Sai.             d) Đúng.

⦁ Ta có \(A = 2xy\left( {x{y^2} - 3{x^2}y + 1} \right)\)

\( = 2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + 2xy\).

Đa thức \[A\] có bậc là 8. Do đó ý a) đúng.

⦁ Ta có \[B = \left( {12{x^4}{y^5} - 36{x^5}{y^4} + 6{x^3}{y^3}} \right):6{x^2}{y^2}\]

 \[ = 12{x^4}{y^5}:\left( {6{x^2}{y^2}} \right) - 36{x^5}{y^4}:\left( {6{x^2}{y^2}} \right) + 6{x^3}{y^3}:\left( {6{x^2}{y^2}} \right)\]

 \[ = 2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + xy\].

Khi đó, hệ số tự do của đa thức \(B\) là 0. Do đó ý b) sai.

⦁ Thay \[x = - 1\,;\,\,y = 1\] vào biểu thức \(B\), ta có:

\[B = 2 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} \cdot {1^3} - 6 \cdot {\left( { - 1} \right)^3} \cdot {1^2} + \left( { - 1} \right) \cdot 1 = 2 + 6 - 1 = 7\].

Vậy với \[x = - 1\,;\,\,y = 1\] thì \(B = 7\). Do đó ý c) sai.

⦁ Ta có \(A = M + B\)

Suy ra \(M = A - B\)

\( = 2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + 2xy - \left( {2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + xy} \right)\)

\( = 2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + 2xy - 2{x^2}{y^3} + 6{x^3}{y^2} - xy\)

\( = \left( {2{x^2}{y^3} - 2{x^2}{y^3}} \right) + \left( { - 6{x^3}{y^2} + 6{x^3}{y^2}} \right) + \left( {2xy - xy} \right)\)\( = xy.\)

Như vậy, \(M\) là một đơn thức. Do đó ý d) đúng.