Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \[n,\] các cặp số sau là các số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là 1):

a) \[n + 1\] và \[n + 2\].

Hướng dẫn giải

Số đại biểu nói được tiếng Nga hoặc tiếng Trung Quốc là: \(100 - 30 = 70\) (đại biểu).

Số đại biểu nói được tiếng Nga nhưng không nói được tiếng Trung Quốc là: \(70 - 45 = 25\) (đại biểu).

Số đại biểu nói được tiếng Trung Quốc nhưng không nói được tiếng Nga là: \(70 - 40 = 30\) (đại biểu).

Số đại biểu nói được tiếng Nga và tiếng Trung Quốc là: \(70 - \left( {25 + 30} \right) = 15\) (đại biểu).

Số đại biểu nói được cả ba thứ tiếng là: \(15 - 10 = 5\) (đại biểu).

Hướng dẫn giải

Ta có: \[{2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}} + ... + {2^{x + 2020}} = {2^{2024}} - 8\]

\[{2^x} + {2^x} \cdot 2 + {2^x} \cdot {2^2} + ... + {2^x} \cdot {2^{2020}} = {2^{2021}} \cdot {2^3} - {2^3}\]

\[{2^x} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{2020}}} \right) = {2^3} \cdot \left( {{2^{2021}} - 1} \right)\].

Đặt \[A = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{2020}}\]

      \[2A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2021}}\]

      \[2A - A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2021}} - \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2020}}} \right)\]

      \[A = {2^{2021}} - 1\]

Do đó, \[{2^x} \cdot \left( {{2^{2021}} - 1} \right) = {2^3} \cdot \left( {{2^{2021}} - 1} \right)\]

Suy ra \[{2^x} = {2^3}\], do đó \[x = 3\].