Cho mảnh vườn hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là \(6\,\,{\rm{m}}\) và \(10\,\,{\rm{m}}\). Người ta trồng 4 bồn cỏ có dạng hình tam giác xung quanh như hình vẽ, phần còn lại trồng hoa.

a) Tính diện tích phần đất dùng để trồng cỏ.

b) Mỗi mét vuông trồng cỏ chi phí mua hạt giống hết \(25\,\,000\) đồng, công trồng hết \(30\,\,000\) đồng. Mỗi mét vuông trồng hoa chi phí mua hoa giống hết \(80\,\,000\) đồng, công trồng hết \(35\,\,000\) đồng. Hỏi tổng chi phí làm mảnh vườn hết bao nhiêu tiền?

 

Hướng dẫn giải

b) Gọi ƯCLN\(\left( {3n + 10,\,\,n + 3} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\), suy ra \(\left( {3n + 10} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Từ \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta suy ra \(\left( {3n + 9} \right)\,\, \vdots \,\,d\).

Do đó \(\left( {3n + 10 - 3n - 9} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(1\,\, \vdots \,\,d\) nên \(d = 1.\)

Vậy \(3n + 10;\,\,n + 3\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

b) Gọi ƯCLN\(\left( {7n + 13,\,\,2n + 4} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Suy ra \(\left( {7n + 13} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {2n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Từ \(\left( {7n + 13} \right)\,\, \vdots \,\,d\) suy ra \[2\left( {7n + 13} \right)\,\, \vdots \,\,d\]

Từ \(\left( {2n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\) suy ra \[7\left( {2n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\]

Do đó \[\left[ {7\left( {2n + 4} \right) - 2\left( {7n + 13} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\] hay \[2\,\, \vdots \,\,d\] nên \[d \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}.\]

Để \(7n + 13\) và \(2n + 4\) là hai số nguyên tố cùng nhau thì \(d \ne 2\).

Mà \(2n + 4\) luôn chia hết cho 2 và \(7n + 13\) không chia hết cho 2 khi \(n\) chẵn.

Vậy \(n\) chẵn thì \(7n + 13\) và \(2n + 4\) là hai số nguyên tố cùng nhau.