Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho \(\overrightarrow {MC} = - 2\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {NA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {NC} \) và \(\overrightarrow {AP} = \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} \).

a) Diện tích tam giác ABC là \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

b) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = a\).

c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

d) \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {PN} = 2{a^2}\).

Ta có \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

Có \(AC = AB.\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \); \(BC = \frac{{AB}}{{\cos 60^\circ }} = 2a\).

\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = - \left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos C = - a\sqrt 3 .2a.\cos 30^\circ = - 3{a^2}\). Chọn D.

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = 2a.3a.\cos 60^\circ = 3{a^2}\).

b) Có \(\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

c) Có \(\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {AJ} - \overrightarrow {AB} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \).

d) Có \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \frac{7}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{7}{{24}}\overrightarrow {A{C^2}} - \frac{1}{2}\overrightarrow {A{B^2}} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

\( = - \frac{5}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{7}{{24}}{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} - \frac{1}{2}{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2}\)\( = - \frac{5}{{24}}.2a.3a.\cos 60^\circ + \frac{7}{{24}}.9{a^2} - \frac{1}{2}.4{a^2} = 0\).

Suy ra \(AI \bot BJ\).

Đáp án: a) Sai; b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.