Đồng vị phóng xạ $\beta^-$ xenon $_{54}^{133}\mathrm{Xe}$ được sử dụng trong phương pháp nguyên tử đánh dấu của y học, hạt nhân khi kiểm tra chức năng và chẩn đoán các bệnh về phổi. Mỗi hạt nhân xenon $_{54}^{133}\mathrm{Xe}$ phân rã tạo thành một hạt nhân cesium, một hạt $\beta^-$ và một hạt $\bar{\nu}$. Chu kì bán rã của xenon $_{54}^{133}\mathrm{Xe}$ là $T = 5{,}24$ ngày. Một mẫu khí chứa xenon $_{54}^{133}\mathrm{Xe}$ được sản xuất tại nhà máy có độ phóng xạ $H_0 = 4{,}25 \cdot 10^9$ Bq. Mẫu đó được vận chuyển về bệnh viện và sử dụng cho bệnh nhân sau đó $t = 2{,}00$ ngày.

Hạt nhân cesium có bao nhiêu neutron?

a) Ta tính được tỉ số $\dfrac{p}{T}$ (kPa/K) cho từng lần đo như bảng sau đây:

Ta thấy: với sai số dưới 10\% thì $\dfrac{p}{T} \approx 3{,}5 \,\text{(kPa/K)}$ trong 7 lần đo, chỉ có lần đo 8 mới có $\dfrac{p}{T} \approx 3{,}4 \,\text{(kPa/K)}$. Do đó ta có thể nói $T$ tăng bao nhiêu lần thì $p$ tăng bấy nhiêu lần, tức là $p$ tỉ lệ thuận với $T$.

b) Giá trị trung bình của tỉ số $\dfrac{p}{T}$ trong tất cả các lần đo với hai chữ số có nghĩa là $3{,}5 \,\text{(kPa/K)}$.

Dùng phương trình Clapeyron ta tính được số mol của lượng khí này là:
\[
n = \frac{pV}{RT} = \frac{p}{T} \cdot \frac{V}{R} = 3{,}5 \cdot 10^3 \cdot \frac{25 \cdot 10^{-6}}{8{,}31} \approx 10{,}5 \cdot 10^{-3} \,\text{mol} \approx 11 \cdot 10^{-3} \,\text{mol}.
\]

c) Đồ thị biểu diễn mối liên hệ giữa $p$ và $T$ có dạng như hình trên là chính xác.

d) Lấy tỉ số giữa $p$ (tính theo đơn vị kPa) và $T$ (tính theo đơn vị K) với hai chữ số có nghĩa thì ta có $\dfrac{p}{T} \approx 3{,}5 \,\text{(kPa/K)}$. Do đó khi lượng khí có nhiệt độ tuyệt đối là $285$ K thì áp suất của nó là:

\[
p = 3{,}5 \cdot 285 = 997{,}5\, \text{kPa} \approx 998\,\text{kPa}.
\]

a) Lực điện mà hạt nhân của nguyên tử hydrogen tác dụng lên electron là lực hút vì chúng có điện tích trái dấu và có độ lớn
\[
F = k \frac{e^2}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{(1{,}6 \times 10^{-19})^2}{(5{,}3 \times 10^{-11})^2} \approx 8{,}2 \times 10^{-8}\,N
\]

b) Lực điện mà hạt nhân của nguyên tử hydrogen tác dụng lên electron gây ra cho electron gia tốc hướng tâm, tức là
\[
k \frac{e^2}{r^2} = m_e \frac{v^2}{r} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{k}{m_e r}} e = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9}{9{,}1 \times 10^{-31} \cdot 5{,}3 \times 10^{-11}}} \cdot 1{,}6 \times 10^{-19}
\]
\[
\approx 2{,}2 \times 10^6 \,\text{m/s}
\]

c) Sự chuyển động của electron quanh hạt nhân tạo nên một dòng điện tròn có cường độ
\[
I = \frac{e}{T} = \frac{e}{2\pi r / v} = \frac{ev}{2\pi r} = \frac{e^2}{2\pi r} \sqrt{\frac{k}{m_e r}}
\]

\[
= \frac{(1{,}6 \times 10^{-19})^2}{2\pi \cdot 5{,}3 \times 10^{-11}} \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9}{9{,}1 \times 10^{-31} \cdot 5{,}3 \times 10^{-11}}} \approx 1{,}1 \times 10^{-3}\,A \approx 1\,\text{mA}
\]

d) Vì electron là hạt mang điện âm nên dòng điện tròn I do nó tạo ra có chiều ngược với chiều chuyển động của nó. Dùng quy tắc nắm bàn tay phải, ta suy ra chiều của vectơ cảm ứng từ $\vec{B}$ do dòng điện tròn $I$ gây ra tại hạt nhân nguyên tử hydrogen (chính là tại tâm của dòng điện tròn này) là chiều từ dưới lên (ngược lại với chiều ở hình vẽ của đề). Độ lớn cảm ứng từ này là

\[
B = 2\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac{I}{r} = 10^{-7} \cdot \frac{e^2}{r^2} \sqrt{\frac{k}{m_e r}}
\]

\[
= 10^{-7} \cdot \frac{(1{,}6 \times 10^{-19})^2}{(5{,}3 \times 10^{-11})^2} \cdot \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9}{9{,}1 \times 10^{-31} \cdot 5{,}3 \times 10^{-11}}} \approx 12\,T
\]