Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = \cos x\left( {1 - 2\cos 2x} \right)\).

Ta có \(y = f\left( x \right) = \cos x\left( {1 - 2\cos 2x} \right) = \cos x\left( { - 4{{\cos }^2}x + 3} \right) =  - 4{\cos ^3}x + 3\cos x\).

Đặt \(t = \cos x,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Hàm số trở thành \(y = f\left( t \right) =  - 4{t^3} + 3t\) với \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Khi đó \(y' = f'\left( t \right) =  - 12{t^2} + 3\). Cho \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  \pm \frac{1}{2}\).

Ta tính \(f\left( { - 1} \right) = 1;f\left( 1 \right) =  - 1;f\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - 1;f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = \cos x\left( {1 - 2\cos 2x} \right)\) là \( - 1\).