Phỏng bạn Hùng và bạn Vương làm thí nghiệm trồng cây. Mỗi bạn trồng 40 cây cần tây trong cốc, phần

gốc của các cây khi bắt đầu trồng đều dài \(4{\rm{\;cm}}\). Bảng 1 và bảng 2 lần lượt biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về số liệu thống kê chiều cao của các cây (đơn vị: centimét) mà bạn Hùng và bạn Vương trồng sau 5 tuần.

a) Chiều cao trung bình của mỗi cây do hai bạn Hùng và Vương trồng không bằng nhau.

b) Khoảng biến thiên của cả hai mẫu số liệu trên là 20.

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ở bảng 1 là 5,5.

d) Chiều cao của các cây mà bạn Vương trồng đồng đều hơn các cây mà bạn Hùng trồng.

a) Cỡ mẫu \(n = 160\).

\[\bar x = \frac{1}{{160}}(24 \cdot 4,5 + 57 \cdot 7,5 + 42 \cdot 10,5 + 29 \cdot 13,5 + 8 \cdot 16,5) \approx 9,4\,\,\left( {{m^3}} \right).\]

Vậy lượng nước tiêu thụ trung bình trong tháng của một hộ gia đình trong khu vực nói trên xấp xỉ bằng \[9,4\,\,\left( {{m^3}} \right).\]

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là \(R = 18 - 3 = 15\,\,\left( {{m^3}} \right).\)

c) \(25\% \) các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ cao nhất có lượng nước tiêu thụ không nhỏ hơn \({Q_3}\), với \({Q_3}\) là tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu.

Nhóm \([9;12)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ \( \ge \frac{{3.160}}{4} = 120,\)suy ra tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \({Q_3} = 9 + \frac{{\frac{{160.3}}{4} - (24 + 57)}}{{42}} \cdot (12 - 9) \approx 11,79\,\,\left( {{m^3}} \right).\)

Vậy công ty nên gửi thông báo tiết kiệm nước đến các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ từ \(11,79\;{m^3}\) nước trở lên.

d) Ta có \[{s^2} = \frac{{{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + {n_3}{{\left( {{x_3} - \overline x } \right)}^2} + {n_4}{{\left( {{x_4} - \overline x } \right)}^2} + {n_5}{{\left( {{x_5} - \overline x } \right)}^2}}}{n} \approx 10,77.\]

Suy ra độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên xấp xỉ bằng \(3,28\,\,\left( {{m^3}} \right).\)

Đáp án: a)Đ, b)Đ, c)S, d)S.

a) Ta có đầu mút trái của nhóm 1 là \({a_1} = 30\), đầu mút phải của nhóm 6 là \({a_7} = 90\) nên \(R = {a_7} - {a_1} = 60\).

Vậy mệnh đề đúng.

b) Ta có \(\frac{n}{4} = \frac{{40}}{4} = 10\) mà \(2 < 10 < 12\). Suy ra nhóm \(2\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(10\). Xét nhóm \(2\) là nhóm \(\left[ {40\,;\,50} \right)\) có \(s = 40\); \(h = 10\); \({n_2} = 10\) và nhóm \(1\) là nhóm \(\left[ {30\,;\,40} \right)\) có \(c{f_1} = 2\). Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

\({Q_1} = 40 + \left( {\frac{{10 - 2}}{{10}}} \right).10 = 48\) (\(kg\)).

Ta có \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.40}}{4} = 30\) mà \(28 < 30 < 36\). Suy ra nhóm \(4\)là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(30\). Xét nhóm \(4\)là nhóm \(\left[ {60\,;\,70} \right)\) có \(t = 60\); \(l = 10\); \({n_4} = 8\) và nhóm \(3\) là nhóm \(\left[ {50\,;\,60} \right)\)có \(c{f_3} = 28\). Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

\({Q_3} = 60 + \left( {\frac{{30 - 28}}{8}} \right).10 = 62,5\)(\(kg\)).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 14,5\).

Vậy mệnh đề đúng.

c) Ta có

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\bar x = \frac{{35.2 + 45.10 + 55.16 + 65.8 + 75.2 + 85.2}}{{40}} = 56\).

Vậy mệnh đề đúng.

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({s^2} = \frac{{2{{\left( {35 - \bar x} \right)}^2} + 10{{\left( {45 - \bar x} \right)}^2} + 16{{\left( {55 - \bar x} \right)}^2} + 8{{\left( {65 - \bar x} \right)}^2} + 2{{\left( {75 - \bar x} \right)}^2} + 2{{\left( {85 - \bar x} \right)}^2}}}{{40}} = 129\).

Vậy mệnh đề sai.