Cho tứ diện \(ABCD\) có \(M,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AC\) và \(BD.\) Gọi \(G\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN.\) Hãy chọn khẳng định sai

1. Mệnh đề đúng  vì \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = a\).

2. Mệnh đề đúng vì \[\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  = \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\sin \widehat {ASB} = a.a.\sin {60^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\]

3. Mệnh đề sai:

Do \(N\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SN} \) và \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {MB} \).

Suy ra \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\left( {\overrightarrow {SN}  + \overrightarrow {AN} } \right)\)(1)

Do \(M\) là trung điểm của \(SA\) nên \(\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NS}  = 2\overrightarrow {NM}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {SN}  = 2\overrightarrow {MN} \) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2.2.\overrightarrow {MN}  = 4\overrightarrow {MN} \).

4. Mệnh đề sai

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác\(ABC\).

Do tứ diện \(SABC\) là tứ diện đều  và \(I\) là trọng tâm tứ diện nên \(d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = IG\)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), \(N\)là trung điểm của \(BC\), suy ra \(AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác\(ABC\) nên \(AG = \frac{2}{3}AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Do tứ diện \(SABC\) là tứ diện đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow SG \bot AG\).

Tam giác \(SAG\) vuông tại \(G\) nên \(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Do \(I\) là trọng tâm tứ diện\(SABC\) nên \(IG = \frac{1}{4}SG = \frac{1}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\).

Vậy \(d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\).

1. Mệnh đề sai

2. Mệnh đề đúng: Vì \[M\]là trung điểm \[AB\]nên \[\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB}  = 2\overrightarrow {EM} \], \[N\]là trung điểm \[CD\]nên \[\overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}  = 2\overrightarrow {EN} \]

Ta có  \[\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}  = 2\left( {\overrightarrow {EM}  + \overrightarrow {EN} } \right) = \vec 0\]

3. Mệnh đề đúng: Vì \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} \]

\[\begin{array}{l} = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} } \right) + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CB.} \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CB.} \overrightarrow {CD} \\ = \overrightarrow {CB} \left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {CB.} \overrightarrow {CD}  = \vec 0\end{array}\]

4. Mệnh đề đúng:

Gọi \(M\) là điểm thoả mãn hệ thức \(3\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = \vec 0\) suy ra \[M\] cố định vì \(A,B,C,D\) cố định. Ta có

\(P = 3{\overrightarrow {IA} ^2} + {\overrightarrow {IB} ^2} + {\overrightarrow {IC} ^2} + {\overrightarrow {ID} ^2} = 3{\left( {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MD} } \right)^2}\)

\( = 6I{M^2} + 3M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} + 2\overrightarrow {IM} \left( {3\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right)\)

\( = 6I{M^2} + 3M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\).

Do đó để \(P\) nhỏ nhất thì \[I\] trùng với \(M\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\).

\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = \vec 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MA}  + \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right) = \vec 0\\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MG}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MG}  = \vec 0\end{array}\)

Suy ra \[M\] là trung điểm của \(AG\).

Ta có \(BG = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{a}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)

\( \Rightarrow MA = \frac{1}{2}AG = \frac{a}{{\sqrt 6 }} \Rightarrow M{A^2} = \frac{{{a^2}}}{6}\).

Lại có \(M{D^2} = M{C^2} = M{B^2} = M{G^2} + B{G^2} = \frac{{{a^2}}}{6} + \frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất là \[P = 3.\frac{{{a^2}}}{6} + 3.\frac{{{a^2}}}{2} = 2{a^2}\] khi \[I\] trùng với \(M\).