Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA,{\rm{ }}SB,{\rm{ }}SC\) đôi một vuông góc nhau và \(SA = SB = SC = a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {SM} \) và \(\overrightarrow {BC} \) bằng ............
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Vectơ trong không gian (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {SM} } \right|\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} }}{{SM.BC}}\).
\(\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} } \right).\left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB} } \right)\\ = - \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB} = - \frac{1}{2}S{B^2} = - \frac{{{a^2}}}{2}.\end{array}\).
Tam giác \(SAB\) và \(SBC\) vuông cân tại \(S\) nên \(AB = BC = a\sqrt 2 \). \( \Rightarrow SM = \frac{{AB}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó \(\cos \left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 }} = - \frac{1}{2}\). Suy ra \(\left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {120^0}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GM} \).
B. \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {MN} \).
C. \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\).
D. \(2\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \).
Lời giải
Ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GM} \) nên đáp án A đúng.
\(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {MN} \) đúng vì \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN} = \overrightarrow {MN} \)
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\) đúng vì \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0 \).
Đáp án D: \(2\overrightarrow {NM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \) sai vì :
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right)\\ = 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {CM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} .\end{array}\]
Lời giải
1. Mệnh đề sai vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\) nên \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \).
2. Mệnh đề đúng: Vì
\(\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow {IG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {IG} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {IG} + \overrightarrow {GD} = 3\overrightarrow {IG} + \left( {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) = 3\overrightarrow {IG} \).
3. Mệnh đề đúng: Vì \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AI} = \overrightarrow 0 \).
4. .Mệnh đề đúng vì:
\(\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {IG} \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AG} \).
\[\overrightarrow {IB} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {AB} = - \frac{3}{4}.\frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A.\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {C'A'} \)
B.\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AA'} \).
C. \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \).
D.\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow 0 \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo