Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Xét các điểm \[M,N\] lần lượt thuộc các đường thẳng \[A'C\,,\,C'D\]sao cho đường thẳng \[MN\] song song với đường thẳng \[BD'\]. Khi đó tỉ số \(\frac{{MN}}{{BD'}}\) bằng ……….

Ta có: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GC}  = 2\overrightarrow {GM} \) nên đáp án A đúng.

\(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow {MN} \) đúng vì \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GD}  = 2\overrightarrow {GN}  = \overrightarrow {MN} \)

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \vec 0\) đúng vì \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = 2\left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0 \).

Đáp án D: \(2\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} \) sai vì :

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND} } \right)\\ = 2\overrightarrow {MN}  + \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {CM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = 2\overrightarrow {MN} .\end{array}\]

Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {SM} } \right|\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC} }}{{SM.BC}}\).

\(\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB} } \right).\left( {\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SB} } \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB} } \right)\\ =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB}  =  - \frac{1}{2}S{B^2} =  - \frac{{{a^2}}}{2}.\end{array}\).

Tam giác \(SAB\) và \(SBC\) vuông cân tại \(S\) nên \(AB = BC = a\sqrt 2 \). \( \Rightarrow SM = \frac{{AB}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó \(\cos \left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 }} =  - \frac{1}{2}\). Suy ra \(\left( {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {120^0}\).