Trong không gian \(Oxyz\) cho lăng trụ tam giác\(ABC.A'B'C'\) có đỉnh \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( { - 2;0;1} \right),A'\left( {3;2;2} \right)\) và \(C'\left( {4;3; - 2} \right).\)Tìm tọa độ các véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA'} \) và tìm tọa độ các điểm \(C\) và \(B'.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right) = \left( { - 2 - 1;0 - \left( { - 2} \right);1 - 3} \right) = \left( { - 3;2; - 2} \right),\\\overrightarrow {AA'}  = \left( {{x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}} \right) = \left( {3 - 1;2 - \left( { - 2} \right);2 - 3} \right) = \left( {2;4; - 1} \right).\end{array}\)

* Gọi tọa độ của điểm \(B'\)là \(\left( {x;y;z} \right)\)thì \(\overrightarrow {BB'}  = \left( {x + 2;y;z - 1} \right)\)vì \(ABC.A'B'C'\)là hình lăng trị nên \(ABB'A'\)là hình bình hành, suy ra\(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'} .\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 2\\y = 4\\z - 1 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4\\z = 0\end{array} \right.\). Vậy \(B'\left( {0;4;0} \right).\)

* Gọi tọa độ của điểm \(C\)là \(\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\)thì \(\overrightarrow {CC'}  = \left( {4 - {x_C};3 - {y_C}; - 2 - {z_C}} \right)\)vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trị nên \(ACC'A'\) là hình bình hành, suy ra\(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {CC'} .\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}4 - {x_C} = 2\\3 - {y_C} = 4\\ - 2 - {z_C} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - 2\\{y_C} =  - 1\\{z_C} =  - 1\end{array} \right.\). Vậy \(C'\left( { - 2; - 1; - 1} \right).\)