Câu hỏi:

02/10/2025 9

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( { - 1; - 1;3} \right)$, $B\left( {0;2;0} \right)$và $C\left( {5; - 2;1} \right)$. Chu vi của tam giác $ABC$ là?

A. $\sqrt {19} + 2\sqrt {41} $.

B. $\sqrt {19} + \sqrt {41} + \sqrt {42} $.

C. $\sqrt {19} + 2\sqrt {42} $.

D. $\sqrt {19} + \sqrt {41} + \sqrt {43} $.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Ta có:

$\begin{array}{l}AB = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {19} \\AC = \sqrt {{6^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {41} \\BC = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {42} \end{array}$

Vậy chu vi của tam giác $ABC$ bằng $\sqrt {19} + \sqrt {41} + \sqrt {42} $.

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 300 mét (tham khảo hình vẽ) . Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu $MN$ bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh$A'C$, điểm cuối thuộc cạnh $BC'$) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho $MN$ ngắn nhất (Gợi ý: đoạn thẳng nối hai đường ngắn nhất chính là đường vuông góc chung). Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tiền?

Xem đáp án

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ ($O$ là trung điểm của $BC$). Ta có: $A'\left( {0;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right),$ $B\left( {150;\,0;\,0} \right),$ $C\left( { - 150;\,0;\,0} \right),$ $C'\left( { - 150;\,0;\,300} \right),$$\overrightarrow {CA'} = \left( {150;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right)$, $\overrightarrow {BC'} = \left( { - 300;\,0;\,300} \right)$

Gọi $m,n$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CM} = m\overrightarrow {CA'} \\\overrightarrow {BN} = n\overrightarrow {BC'} \end{array} \right.$ ta có $M\left( { - 150 + 150m;\, - 150\sqrt 3 m;\,300m} \right)$, $N\left( {150 - 300n;\,0;\,300n} \right)$

$ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 150m - 300n + 300;\,150\sqrt 3 m;\,300n - 300m} \right)$.

Đường thẳng $MN$ là đường vuông góc chung của $A'C$ và $BC'$nên:

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CA'} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC'} = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m + n = - 1\\ - m + 4n = 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{2}{5}\\n = \frac{3}{5}\end{array} \right.$$ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {60;\,60\sqrt 3 ;\,60} \right) \Rightarrow MN = 60\sqrt 5 $

Số tiền xây cầu là: $T = 60\sqrt 5 .5 \approx 671$tỷ đồng.

Câu 2

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có \[A\left( {1;1;0} \right),B\left( { - 1;0;1} \right),C\left( {1; - 2;3} \right)\].

a) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $D\left( {3; - 1;2} \right)$.

b) Độ dài đoạn thẳng$AB$ là $\sqrt 6 $.

c) Biết $E \in Oy,$ khi đó tam giác $BCE$ vuông tại $E$ thì $E\left( {0; - 6;0} \right)$.

d) \[M\] là điểm nằm trên đoạn \[AB\] sao cho \[MA = 2MB\] thì độ dài \[OM\] bằng \[\frac{{\sqrt 6 }}{3}\].

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Đúng

Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1;1} \right),\,\overrightarrow {DC} = \left( {1 - x; - 2 - y;3 - z} \right)$

$ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = - 2\\ - 2 - y = - 1\\3 - z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1\\z = 2\end{array} \right.$. Vậy $D\left( {3; - 1;2} \right)$.

b) Đúng

Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 6 \]

c) Sai

Gọi $E\left( {0;m;0} \right) \in Oy$

Tam giác $BCE$ vuông tại $E$ thì $\overrightarrow {EB} .\overrightarrow {EC} = 0.\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: \[\overrightarrow {EB} = \left( { - 1; - m;1} \right),\,\overrightarrow {EC} = \left( {1; - m - 2;3} \right)\]

Khi đó \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 2 = 0\,\,\left( {VN} \right).\]

Vậy không có điểm $E$ thỏa mãn.

d) Đúng

Điểm M thuộc đoạn thẳng AB và \[MA = 2MB\]

Nên \[\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - {x_M} = - 2\left( {{x_B} - {x_M}} \right)\\{y_A} - {y_M} = - 2\left( {{y_B} - {y_M}} \right)\\{z_A} - {z_M} = - 2\left( {{z_B} - {z_M}} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_M} = - 2\left( { - 1 - {x_M}} \right)\\1 - {y_M} = - 2\left( { - {y_M}} \right)\\ - {z_M} = - 2\left( {1 - {z_M}} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_M} = - 1\\3{y_M} = 1\\3{z_M} = 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{ - 1}}{3}\\{y_M} = \frac{1}{3}\\{z_M} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 1}}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{2}{3}} \right)\].

Độ dài đoạn thẳng \[OM = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\].

Câu 3