Câu hỏi:

02/10/2025 183 Lưu

Trong không gian tọa độ \[Oxyz\], cho các điểm \[A\left( { - 1;2;3} \right),B\left( {3;0; - 1} \right),C\left( {1;4;7} \right)\]. Giả sử điểm \[M\] thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] sao cho \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\] nhỏ nhất. Tính \[M{I^2}\] với \[I\left( {0;3;4} \right)\].

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Ta có: \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\]

\[ = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\]

\[ = {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\]

\[ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\]

Ta chọn điểm \[G\] sao cho : \[\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \]\[ \Rightarrow G\left( {1;2;3} \right)\]

Ta có: \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\]\[ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + \left( {{{\overrightarrow {GA} }^2} + {{\overrightarrow {GB} }^2} + {{\overrightarrow {GC} }^2}} \right)\] và \[{\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\] không đổi

Do đó: \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\] nhỏ nhất khi và chỉ khi \[{\overrightarrow {MG} ^2} = M{G^2}\] nhỏ nhất

khi và chỉ khi \[M\] là hình chiếu vuông góc của \[G\] lên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]

\[ \Rightarrow M\left( {1;0;0} \right)\]\[ \Rightarrow M{I^2} = 26\].

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Ta đặt \[A(a;0;0)\],\[B(0;b;0)\],\[C(0;0;c)\].

\[\overrightarrow {SA}  = (a - 1; - 2; - 3)\]; \[\overrightarrow {SB}  = ( - 1;b - 2; - 3)\]; \[\overrightarrow {SC}  = ( - 1; - 2;c - 3)\].

Vì \(SA\), \(SB\), \(SC\) đôi một vuông góc nên

\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA}  \bot \overrightarrow {SB} \\\overrightarrow {SB}  \bot \overrightarrow {SC} \\\overrightarrow {SA}  \bot \overrightarrow {SC} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  = 0\\\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC}  = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC}  = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 14\\2b + 3c = 14\\a + 3c = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = \frac{7}{2}\\c = \frac{7}{3}\end{array} \right.\].

Do \(SA\), \(SB\), \(SC\) đôi một vuông góc, nên: \({V_{SABC}} = \frac{1}{6}SA.SB.SC = \frac{1}{6}.7.\frac{7}{2}.\frac{7}{3} = \frac{{343}}{{36}}\).

a)  Sai.

b)  Đúng.

c)  Sai.

d)  Đúng.

Lời giải

Ta có:  Điểm đối xứng của \(B\left( { - 4;\,8;\,6} \right)\) qua mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] là \(B'\left( { - 4;\,8;\, - 6} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB'} \left( { - 5;\,5;\, - 10} \right)\).

Khi đó với mọi điểm \(M\)thuộc mặt phẳng  \[\left( {Oxy} \right)\] thì:\(MB = MB' \Rightarrow MA + MB = MA + MB' \ge AB'\)                 

Dấu bằng xảy ra khi ba điểm \(A,\,M,B'\) thẳng hàng và điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A,B'\).

               \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = k.\overrightarrow {AB'} \,\,\,\left( {0 \le k \le 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = k.\left( { - 5} \right)\\b - 3 = k.\left( 5 \right)\\0 - 4 = k.\left( { - 10} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 5\\k = \frac{2}{5}\end{array} \right.\)

Vậy có: \(2024a + 2025b = 2024.\left( { - 1} \right) + 2025.\left( 5 \right) = 8101\).

Câu 4

A. \(14\).                     
B. \(16\).                   
C. \(22\).                          
D. \(10\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

A. \(\left( {1;5; - 1} \right)\).                          
B. \(\left( { - 1; - 5;1} \right)\).          
C. \(\left( {1; - 5;1} \right)\).                                   
D. \(\left( { - 1;5;1} \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP