Trong không gian tọa độ \[Oxyz\], cho \(S\left( {1;2;3} \right)\) và các điểm \(A\), \(B\), \(C\) thuộc các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) sao cho hình chóp \(S.ABC\) có các cạnh \(SA\), \(SB\), \(SC\) đôi một vuông góc với nhau.

a)  Tam giác \(ABC\) là tam giác vuông.

b)  \(\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC}  = 0\).

c)  Tọa độ điểm \(C\) là \(C\left( {0;0;7} \right)\).

d)  Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\frac{{343}}{{36}}\).

Ta có: \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\]

\[ = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\]

\[ = {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\]

\[ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\]

Ta chọn điểm \[G\] sao cho : \[\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \]\[ \Rightarrow G\left( {1;2;3} \right)\]

Ta có: \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\]\[ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + \left( {{{\overrightarrow {GA} }^2} + {{\overrightarrow {GB} }^2} + {{\overrightarrow {GC} }^2}} \right)\] và \[{\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\] không đổi

Do đó: \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\] nhỏ nhất khi và chỉ khi \[{\overrightarrow {MG} ^2} = M{G^2}\] nhỏ nhất

khi và chỉ khi \[M\] là hình chiếu vuông góc của \[G\] lên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]

\[ \Rightarrow M\left( {1;0;0} \right)\]\[ \Rightarrow M{I^2} = 26\].

a) Sai.\[\overrightarrow a \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\]\[ = 2.3.\cos {60^0}\]\[ = 3\].

b) Đúng. \({\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow {a.} \overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2}\).

\( = {\overrightarrow a ^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + {\overrightarrow b ^2}\).

\( = {2^2} + 2.2.3.\cos 60^\circ  + {3^2} = 19\).

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {19} \).

c) Đúng. \({\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow {a.} \overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2}\)

\( = {\overrightarrow a ^2} - 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + {\overrightarrow b ^2}\)

\( = {2^2} - 2.2.3.\cos 60^\circ  + {3^2} = 4 - 6 + 9 = 7\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| = \sqrt 7 \).

d) Sai. \({\left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} - 4\overrightarrow {a.} \overrightarrow b  + 4{\overrightarrow b ^2}\)

\( = {\overrightarrow a ^2} - 4\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + 4{\overrightarrow b ^2}\)

\( = {2^2} - 4.2.3.\cos 60^\circ  + {4.3^2} = 28\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {28} .\)