Câu hỏi:

02/10/2025 13

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( {2;3; - 4} \right)$, $B\left( { - 1;1;0} \right)$, $C\left( { - 1;3; - 1} \right)$.

a)    Tam giác $ABC$ là tam giác vuông.

b)    Với điểm $D\left( {a;b;c} \right)$ thỏa mãn tứ giác$ABCD$ là hình chữ nhật thì $a + b + c = 9$.

c)    $\sin \widehat {BAC} = \sqrt {\frac{{57}}{{58}}} $

d)    Với điểm $M\left( {1;m;n} \right)$ thỏa mãn $A,B,M$ thẳng hàng thì $m + n = - 3.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a)	b)	c)	d)
Đúng	Sai	Đúng	Đúng

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 2; - 4} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0;2; - 1} \right)$.

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - 3.0 + \left( { - 2} \right).2 + \left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right) = - 4 + 4 = 0\]

Suy ra $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {BC} \Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $B$.

Ta có $\overrightarrow {DC} = \left( { - 1 - a;3 - b; - 1 - c} \right)$.

Do tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $ABCD$ là hình chữ nhật khi $ABCD$ là hình bình hành.

Điều này xảy ra $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = - 1 - a\\ - 2 = 3 - b\\ - 4 = - 1 - c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 5\\c = 3\end{array} \right.$

Vậy $a + b + c = 10$.

$\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;0;3} \right)$.

$\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt {29} .\sqrt {18} }} = - \frac{1}{{\sqrt {58} }}$.

Nhận xét do $\widehat {BAC} \in \left( {0;180^\circ } \right) \Rightarrow \sin \widehat {BAC} > 0$

Suy ra $\sin \widehat {BAC} = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\widehat {BAC}} = \sqrt {1 - \frac{1}{{58}}} = \sqrt {\frac{{57}}{{58}}} $.

$\overrightarrow {AM} = \left( { - 1;m - 3;n + 4} \right)$.

$A,B,M$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} $ cùng phương

Điều này xảy ra $ \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{ - 3}} = \frac{{m - 3}}{{ - 2}} = \frac{{n + 4}}{{ - 4}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{7}{3}\\n = - \frac{{16}}{3}\end{array} \right.$

Vậy $m + n = - 3$.

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một chiếc máy bay đang bay trên không trung. Xét hệ trục tọa độ Oxyz được gắn như hình vẽ, trong đó gốc $O$ là vị trí của trạm kiểm soát không lưu và $M\left( {x;y;z} \right)$ (km) biểu thị vị trí máy bay trên không trung. Tại thời điểm 8h máy bay đang ở vị trí $\left( {50;120;4} \right)$ và chuyển động với vận tốc $\vec v = \left( {300;400;3} \right)$ (km/h)

a) Tại thời điểm 8h, khoảng cách giữa máy bay và trạm kiểm soát không lưu nói trên xấp xỉ 130 km (sai số không quá 1km).

b) Tại thời điểm 9h độ cao của máy bay so với mặt đất là 8km.

c) Tại thời điểm 10h, khoảng cách giữa máy bay và một tháp truyền hình $F$ có tọa độ $\left( {1250;1020;0} \right)$ xấp xỉ 700km (sai số không quá 10km).

d) Khi đạt độ cao 10km, máy bay đổi vận tốc mới là $\overrightarrow {{v_2}} = \left( {400;300; - 5} \right)$để hướng đến sân bay $B$. Tọa độ của máy bay khi vừa đáp xuống sân bay $B$ là $\left( {1450;1520;0} \right)$.

Xem đáp án

Lời giải

a)	b)	c)	d)
Đúng	Sai	Sai	Đúng

a) $\overrightarrow {OM} = \left( {50;120;4} \right) \Rightarrow OM = \sqrt {{{50}^2} + {{120}^2} + {4^2}} \approx 130,06$

Vậy khoảng cách giữa máy bay và trạm không lưu tại thời điểm 8h xấp xỉ 130km.

b) Ta có $\overrightarrow {OM} + \vec v = \left( {350;520;7} \right)$

Tại thời điểm 9h, tọa độ của máy bay là ${M_1}\left( {350;520;7} \right)$

Vậy độ cao của máy bay so với mặt đất là 7km.

c) Ta có $\overrightarrow {OM} + 2\vec v = \left( {650;920;10} \right)$.

Vậy tại thời điểm 10h, tọa độ của máy bay là ${M_2}\left( {650;920;10} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {{M_2}F} = \left( {600;100;10} \right) \Rightarrow {M_2}F = \sqrt {{{600}^2} + {{100}^2} + {{10}^2}} \approx 608,36$

Vậy khoảng cách giữa máy bay và tháp truyền hình $F$ xấp xỉ 600km.

d) Từ độ cao 10km, với tốc độ hạ độ cao là 5km/h thì máy bay cần 2h để đáp xuống đất.

Ta có: $\overrightarrow {O{M_2}} + 2\overrightarrow {{v_2}} = \left( {1450;1520;0} \right)$.

Vậy tọa độ của máy bay khi đáp xuống là ${M_3}\left( {1450;1520;0} \right)$

Câu 2

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình vuông $ABCD$ với \[B\left( {3;0;8} \right)\], \[D\left( { - 5; - 4;0} \right)\], $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = a\sqrt b $. Tính giá trị biểu thức $M = a + 2b$.

Xem đáp án

Lời giải

$Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình vuông $ABCD$ với \[B\left( {3;0;8} \right)\], \[D\left( { - 5; - 4;0} \right)\], $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = a\sqrt b $. Tính giá trị biểu thức $M = a + 2b$. (ảnh 1)$

Dựng hình bình hành $ACBE$. Ta có: $\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CE} $.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, ta có $BD = \sqrt {{{( - 5 - 3)}^2} + {{( - 4 - 0)}^2} + {{(0 - 8)}^2}} = 12$.

Có $ABCD$ là hình vuông nên $AC = BD = 12$. Suy ra $CD = 6\sqrt 2 $ , $DE = 12\sqrt 2 $. Tam giác $CDE$ vuông tại $D$.

Có $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = CE = \sqrt {C{D^2} + D{E^2}} = \sqrt {{{\left( {6\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {12\sqrt 2 } \right)}^2}} = 6\sqrt {10} $.

Suy ra $a = 6;\,\,\,b = 10$; $M = a + 2b = 26$.

Câu 3