Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;3; - 4} \right)\), \(B\left( { - 1;1;0} \right)\), \(C\left( { - 1;3; - 1} \right)\).

a)    Tam giác \(ABC\) là tam giác vuông.

b)    Với điểm \(D\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn tứ giác\(ABCD\) là hình chữ nhật thì \(a + b + c = 9\).

c)    \(\sin \widehat {BAC} = \sqrt {\frac{{57}}{{58}}} \)

d)    Với điểm \(M\left( {1;m;n} \right)\) thỏa mãn \(A,B,M\) thẳng hàng thì \(m + n =  - 3.\)

a) \(\overrightarrow {OM}  = \left( {50;120;4} \right) \Rightarrow OM = \sqrt {{{50}^2} + {{120}^2} + {4^2}}  \approx 130,06\)

    Vậy khoảng cách giữa máy bay và trạm không lưu tại thời điểm 8h xấp xỉ 130km.

b) Ta có \(\overrightarrow {OM}  + \vec v = \left( {350;520;7} \right)\)

 Tại thời điểm 9h, tọa độ của máy bay là \({M_1}\left( {350;520;7} \right)\)

    Vậy độ cao của máy bay so với mặt đất là 7km.

c) Ta có \(\overrightarrow {OM}  + 2\vec v = \left( {650;920;10} \right)\).

Vậy tại thời điểm 10h, tọa độ của máy bay là \({M_2}\left( {650;920;10} \right)\)

    Ta có: \(\overrightarrow {{M_2}F}  = \left( {600;100;10} \right) \Rightarrow {M_2}F = \sqrt {{{600}^2} + {{100}^2} + {{10}^2}}  \approx 608,36\)

Vậy khoảng cách giữa máy bay và tháp truyền hình \(F\) xấp xỉ 600km.

d) Từ độ cao 10km, với tốc độ hạ độ cao là 5km/h thì máy bay cần 2h để đáp xuống đất.

Ta có: \(\overrightarrow {O{M_2}}  + 2\overrightarrow {{v_2}}  = \left( {1450;1520;0} \right)\).

Vậy tọa độ của máy bay khi đáp xuống là \({M_3}\left( {1450;1520;0} \right)\)

Với hệ trục toạ độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với một góc phòng và mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét.

Phòng học thiết kế dạng hình hộp chữ nhật \(OBCD.A'B'C'D'\) với \(A'B'C'D'\) là hình chữ nhật. Gọi \(M\) là giao điểm của hai đường chéo \[A'C'\] và \[B'D'\] nên \(M\) là trung điểm của \[A'C'\] với \[A'\left( {0;0;4} \right)\], \[C'\left( {8;10;4} \right)\].

Vì đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học nên điểm treo bóng đèn trùng với điểm \(M\).

Có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_{A'}} + {x_{C'}}}}{2} = 4\\{y_M} = \frac{{{y_{A'}} + {y_{C'}}}}{2} = 5\\{z_M} = \frac{{{z_{A'}} + {z_{C'}}}}{2} = 4\end{array} \right.\) nên \(M(4;5;4)\), khoảng cách từ điểm treo bóng đèn đến góc phòng học là \(OM = \sqrt {{4^2} + {5^2} + {4^2}}  = \sqrt {57}  \approx 7,55\).