Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp\(ABCD.A'B'C'D'\) có\(A(0;0;0)\)\(\;B(3;0;0)\)\(D\left( {0;3;0} \right);\)\(D'\left( {0;3; - 3} \right)\).

a) Tọa độ điểm \(C\) là \(C\left( { - 3; - 3;0} \right)\).

b) Tọa độ trọng tâm tam giác \(A'B'C\) là \(G\left( {2;1; - 2} \right)\).

c) Góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(B'G\)là \(60^\circ \).

d)Thể tích khối hộp đã cho là \(3\)(đvtt).

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;0;0} \right);\overrightarrow {AD}  = \left( {0;3;0} \right)\). Gọi \(C\left( {x;y;z} \right)\) thì \(\overrightarrow {DC}  = \left( {x;y - 3;z} \right)\).

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 = x\\0 = y - 3\\0 = z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\\z = 0\end{array} \right.\) vậy \(C\left( {3;3;0} \right)\)

b) Vì tứ giác \(ADD'A'\) là hình bình hành nên\(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {A'D'}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 =  - {x_{A'}}\\3 = 3 - {y_{A'}}\\0 =  - 3 - {z_{A'}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 0\\{y_{A'}} = 0\\{z_{A'}} =  - 3\end{array} \right.\) nên \(A'\left( {0;0; - 3} \right)\)

Tương tự ta có \(B'\left( {3;0; - 3} \right)\)

Vậy tọa độ trọng tâm tam giác \(A'B'C\) là \(G\left( {2;1; - 2} \right)\)

c) Ta có \(\overrightarrow {AC} \left( {3;3;0} \right);\;\overrightarrow {B'G} \left( { - 1;1;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'G}  = 0 \Rightarrow AC \bot B'G\)

Do đó góc giữa hai đường thẳng này là \({90^o}\)

d) Nhận xét \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0 \Rightarrow AB \bot AD\), do đó đáy \(ABCD\) của khối hộp đã cho là hình chữ nhật.

Mặt khác \(\overrightarrow {DD'}  = \left( {0;0; - 3} \right).\) Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {DD'} .\overrightarrow {AB}  = 0\\\overrightarrow {DD'} .\overrightarrow {AD}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}DD' \bot AB\\DD' \bot AD\end{array} \right.\]

Do đó \(DD' \bot \left( {ABCD} \right)\)

Thể tích khối hộp là \(V = AB.AD.DD' = 3.3.3 = 27\) (đvtt).