Một chiếc máy bay đang bay trên không trung. Xét hệ trục tọa độ Oxyz được gắn như hình vẽ, trong đó gốc \(O\) là vị trí của trạm kiểm soát không lưu và \(M\left( {x;y;z} \right)\) (km) biểu thị vị trí máy bay trên không trung. Tại thời điểm 8h máy bay đang ở vị trí \(\left( {50;120;4} \right)\) và chuyển động với vận tốc \(\vec v = \left( {300;400;3} \right)\) (km/h)

a) Tại thời điểm 8h, khoảng cách giữa máy bay và trạm kiểm soát không lưu nói trên xấp xỉ 130 km (sai số không quá 1km).

b) Tại thời điểm 9h độ cao của máy bay so với mặt đất là 8km.

c) Tại thời điểm 10h, khoảng cách giữa máy bay và một tháp truyền hình \(F\) có tọa độ \(\left( {1250;1020;0} \right)\) xấp xỉ 700km (sai số không quá 10km).

d) Khi đạt độ cao 10km, máy bay đổi vận tốc mới là \(\overrightarrow {{v_2}}  = \left( {400;300; - 5} \right)\)để hướng đến sân bay \(B\). Tọa độ của máy bay khi vừa đáp xuống sân bay \(B\) là \(\left( {1450;1520;0} \right)\).

Dựng hình bình hành \(ACBE\). Ta có: \(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CE} \).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), ta có \(BD = \sqrt {{{( - 5 - 3)}^2} + {{( - 4 - 0)}^2} + {{(0 - 8)}^2}}  = 12\).

Có \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC = BD = 12\). Suy ra \(CD = 6\sqrt 2 \) , \(DE = 12\sqrt 2 \). Tam giác \(CDE\) vuông tại \(D\).

Có \(\left| {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} } \right| = CE = \sqrt {C{D^2} + D{E^2}}  = \sqrt {{{\left( {6\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {12\sqrt 2 } \right)}^2}}  = 6\sqrt {10} \).

Suy ra \(a = 6;\,\,\,b = 10\); \(M = a + 2b = 26\).

Ta có: \[\left| {\overrightarrow P } \right| = P = m.g = 20.9,8 = 196(N)\].

\[\left| {\overrightarrow d } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 3(m)\].

Cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là \[\widehat {ACB} = {30^ \circ }\] nên \[(\overrightarrow P \overrightarrow {,d} ) = \widehat {CAB} = {60^ \circ }\]

Công sinh bởi trọng lực \[\overrightarrow P \]khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt \[3\,m\]là:

\[A = \overrightarrow {P.} \overrightarrow d  = \left| {\overrightarrow P } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|\cos (\overrightarrow P \overrightarrow {,d} ) = 196.3.\cos {60^ \circ } = 294(J)\].