PHẦN 2. CÂU HỎI DẠNG ĐÚNG – SAI (4 CÂU)

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Trên các cạnh \[CD\] và \[BB'\] ta lần lượt lấy các điểm M và N sao cho \[DM = BN = x\] với \[0 \le x \le a\]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

a) \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} \)

b) Gọi \[K\] là trung điểm \(AD\) khi đó \(\overrightarrow {C'K} = \overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {C'D'} + \frac{1}{2}\overrightarrow {C'B'} \).

c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {B'D'} = {a^2}\).

d) Góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AC'} \] và \(\overrightarrow {MN} \) bằng \(60^\circ \).

a) Đúng.

Ta có\[\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 2;0} \right)\], \[\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;1; - 1} \right)\]. Suy ra \[\overrightarrow {AB}  \ne k\overrightarrow {BC} \]với mọi \[k \in \mathbb{R}\] nên ba điểm \[A\], \[B\], \[C\] không thẳng hàng.

b) Đúng.

Ta có\[\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\], \[\overrightarrow {AM}  = \left( {a - 1;b - 1;1} \right)\].

Ba điểm \[A\], \[C\], \[M\] thẳng hàng suy ra \[\overrightarrow {AB}  = k.\overrightarrow {AM}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = k.\left( {a - 1} \right)\\ - 1 = k.\left( {b - 1} \right)\\ - 1 = k.1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 2\\k =  - 1\end{array} \right.\].

Vậy \[a + b = 0 + 2 = 2\]

c) Sai.

\[\cos \alpha  = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).1 + 0.\left( { - 1} \right)}}{{2\sqrt 2 .\sqrt 3 }} =  - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\].

d) Sai.

\[\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 2;0} \right)\], \[\overrightarrow {AM}  = \left( { - 1;1;1} \right)\].

\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} } \right] = \left( { - 2; - 2;4} \right)\].

a) Đáp số: \(0\).

Ta có \(OA = OB = OC = OD = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) nên \(A\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }};0;0} \right),B\left( {0; - \frac{1}{{\sqrt 2 }};0} \right)\)\(,C\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }};0;0} \right)\),

\(D\left( {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }};0} \right)\)

Ta có \(OI = SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}  = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) nên \(S\left( {0;0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),I\left( {0;0; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\).

Tổng hoành độ các đỉnh \(S,A,B,C,D,I\) là:

\( - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 0 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 0 + 0 + 0 = 0\).

b) Đáp số: \(109\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\) thì \(M\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }};\frac{1}{{2\sqrt 2 }};0} \right)\). 

Có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S;CD;I} \right] = \widehat {SMI}\).

Ta có \(\overrightarrow {MS} \left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}; - \frac{1}{{2\sqrt 2 }};\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),\overrightarrow {MI} \left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}; - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\).

\[ \Rightarrow \cos \widehat {SMI} = \frac{{ - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}. - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} +  - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}. - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}. - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}}{{\sqrt {{{\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} }} =  - \frac{1}{3}\]

\[ \Rightarrow \widehat {SMI} \approx 109^\circ \].