Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {2;\,1;\, - 1} \right)\), \(B\left( {3;\,1;\,0} \right)\), \(C\left( { - 1;\,1;\,3} \right)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Ba điểm \(A,\,B,\,C\)không thẳng hàng.

b) Ba điểm  \(A,\,B,\,D\left( {4;1;1} \right)\)thẳng hàng.

c) Góc \(\widehat {ABC} = 45^\circ \).

d) \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0; - 7;0} \right)\).

a) Đúng.

b) Đúng.

Ta có: \(\overrightarrow {C'K}  = \overrightarrow {C'C}  + \overrightarrow {CK}  = \overrightarrow {C'C}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {C'C}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {C'A'}  + \overrightarrow {C'D'} } \right)\)

\( = \overrightarrow {C'C}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {C'B'}  + \overrightarrow {C'D'}  + \overrightarrow {C'D'} } \right) = \overrightarrow {C'C}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {C'B'}  + \overrightarrow {C'D'} \)

c) Sai.

Ta có: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {B'D'}  = \left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {B'B} } \right).\overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {B'D'}  + \overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {B'D'}  + \overrightarrow {B'B} .\overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {B'D'} \]

\( = A'B'.B'D'.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = a.a\sqrt 2 .{\rm{cos}}\left( {135^\circ } \right) =  - {a^2}\)

d) Đúng.

Ta đặt \[\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow c \]. Ta có \[\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow c } \right| = a\]

\[\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \] hay \[\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c \]

Mặt khác

\[\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN} } \right) - \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DM} } \right)\] với \[\overrightarrow {BN}  = \frac{x}{a}.\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow {DM}  = \frac{x}{a}.\overrightarrow b \]

Do đó \[\overrightarrow {MN}  = \left( {\overrightarrow b  + \frac{x}{a}\overrightarrow a } \right) - \left( {\overrightarrow c  + \frac{x}{a}\overrightarrow b } \right) = \frac{x}{a}\overrightarrow a  + \left( {a - \frac{x}{a}} \right)\overrightarrow b  - \overrightarrow c \]

Ta có \[\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MN}  = \left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\left[ {\frac{x}{a}\overrightarrow a  + \left( {a - \frac{x}{a}} \right)\overrightarrow b  - \overrightarrow c } \right]\]

Vì \[\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0,\overrightarrow a .\overrightarrow c  = 0,\overrightarrow b .\overrightarrow c  = 0\] nên ta có

\[\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MN}  = \frac{x}{a}{\overrightarrow a ^2} + \left( {1 - \frac{x}{a}} \right){\overrightarrow b ^2} - {\overrightarrow c ^2} = x.a + \left( {1 - \frac{x}{a}} \right){a^2} - {a^2} = 0\], vậy góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AC'} \] và \(\overrightarrow {MN} \) bằng  \(90^\circ \).

Ta có \(\overrightarrow {AC'}  = \left( {3;\,5;\, - 6} \right)\,;\,\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1;1} \right)\,;\,\overrightarrow {AD}  = \left( {0;\, - 1;\,0} \right)\,\)

Theo quy tắc hình hộp ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'}  - \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \left( {3 - 1 - 0\,;5 - 1 + 1\,;\, - 6 - 1 - 0\,} \right) = \left( {2;\,5;\, - 7} \right)\).

Gọi \(A'\left( {x;\,y;\,z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \left( {x - 1;y;\,z - 1} \right) = \left( {2;\,5;\, - 7} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\y = 5\\z - 1 =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\\z =  - 6\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {3;\,5;\, - 6} \right)\).