Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \[A\left( {1;1;2} \right)\], \[B\left( {3; - 1;2} \right)\] và \[C\left( {2;0;1} \right)\].
a) Ba điểm \[A\], \[B\], \[C\]không thẳng hàng.
b) Điểm \[M\left( {a;b;3} \right)\] thõa mãn ba điểm \[A\], \[C\], \[M\] thẳng hàng thì \[a + b = 2\] .
c) Gọi \[\alpha \] là góc tạo bởi hai véc-tơ \[\overrightarrow {AB} \],\[\overrightarrow {BC} \] thì \[\cos \alpha = - 1\].
d) Gọi điểm \[M\left( {a;b;3} \right)\] thõa mãn ba điểm \[A\], \[B\], \[M\] thẳng hàng. Khi đó tích có hướng của hai véc-tơ \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {AM} \] là \[\left( {1;1;2} \right)\] .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \[A\left( {1;1;2} \right)\], \[B\left( {3; - 1;2} \right)\] và \[C\left( {2;0;1} \right)\].
a) Ba điểm \[A\], \[B\], \[C\]không thẳng hàng.
b) Điểm \[M\left( {a;b;3} \right)\] thõa mãn ba điểm \[A\], \[C\], \[M\] thẳng hàng thì \[a + b = 2\] .
c) Gọi \[\alpha \] là góc tạo bởi hai véc-tơ \[\overrightarrow {AB} \],\[\overrightarrow {BC} \] thì \[\cos \alpha = - 1\].
d) Gọi điểm \[M\left( {a;b;3} \right)\] thõa mãn ba điểm \[A\], \[B\], \[M\] thẳng hàng. Khi đó tích có hướng của hai véc-tơ \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {AM} \] là \[\left( {1;1;2} \right)\] .
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Ôn tập cuối chương 2 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:

a) Đúng.
Ta có\[\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2;0} \right)\], \[\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;1; - 1} \right)\]. Suy ra \[\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {BC} \]với mọi \[k \in \mathbb{R}\] nên ba điểm \[A\], \[B\], \[C\] không thẳng hàng.
b) Đúng.
Ta có\[\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\], \[\overrightarrow {AM} = \left( {a - 1;b - 1;1} \right)\].
Ba điểm \[A\], \[C\], \[M\] thẳng hàng suy ra \[\overrightarrow {AB} = k.\overrightarrow {AM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = k.\left( {a - 1} \right)\\ - 1 = k.\left( {b - 1} \right)\\ - 1 = k.1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 2\\k = - 1\end{array} \right.\].
Vậy \[a + b = 0 + 2 = 2\]
c) Sai.
\[\cos \alpha = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).1 + 0.\left( { - 1} \right)}}{{2\sqrt 2 .\sqrt 3 }} = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\].
d) Sai.
\[\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2;0} \right)\], \[\overrightarrow {AM} = \left( { - 1;1;1} \right)\].
\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} } \right] = \left( { - 2; - 2;4} \right)\].
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Đúng.
b) Đúng.
Ta có: \(\overrightarrow {C'K} = \overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {CK} = \overrightarrow {C'C} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {C'C} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {C'A'} + \overrightarrow {C'D'} } \right)\)
\( = \overrightarrow {C'C} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {C'B'} + \overrightarrow {C'D'} + \overrightarrow {C'D'} } \right) = \overrightarrow {C'C} + \frac{1}{2}\overrightarrow {C'B'} + \overrightarrow {C'D'} \)
c) Sai.
Ta có: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {B'D'} = \left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {B'B} } \right).\overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {B'D'} + \overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {B'D'} + \overrightarrow {B'B} .\overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {B'D'} \]
\( = A'B'.B'D'.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = a.a\sqrt 2 .{\rm{cos}}\left( {135^\circ } \right) = - {a^2}\)
d) Đúng.
Ta đặt \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow c \]. Ta có \[\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow c } \right| = a\]
\[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \] hay \[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \]
Mặt khác
\[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} } \right) - \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DM} } \right)\] với \[\overrightarrow {BN} = \frac{x}{a}.\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow {DM} = \frac{x}{a}.\overrightarrow b \]
Do đó \[\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow b + \frac{x}{a}\overrightarrow a } \right) - \left( {\overrightarrow c + \frac{x}{a}\overrightarrow b } \right) = \frac{x}{a}\overrightarrow a + \left( {a - \frac{x}{a}} \right)\overrightarrow b - \overrightarrow c \]
Ta có \[\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\left[ {\frac{x}{a}\overrightarrow a + \left( {a - \frac{x}{a}} \right)\overrightarrow b - \overrightarrow c } \right]\]
Vì \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0,\overrightarrow a .\overrightarrow c = 0,\overrightarrow b .\overrightarrow c = 0\] nên ta có
\[\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MN} = \frac{x}{a}{\overrightarrow a ^2} + \left( {1 - \frac{x}{a}} \right){\overrightarrow b ^2} - {\overrightarrow c ^2} = x.a + \left( {1 - \frac{x}{a}} \right){a^2} - {a^2} = 0\], vậy góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AC'} \] và \(\overrightarrow {MN} \) bằng \(90^\circ \).
Lời giải
Ta có \(\overrightarrow {AC'} = \left( {3;\,5;\, - 6} \right)\,;\,\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right)\,;\,\overrightarrow {AD} = \left( {0;\, - 1;\,0} \right)\,\)
Theo quy tắc hình hộp ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).
\( \Rightarrow \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \left( {3 - 1 - 0\,;5 - 1 + 1\,;\, - 6 - 1 - 0\,} \right) = \left( {2;\,5;\, - 7} \right)\).
Gọi \(A'\left( {x;\,y;\,z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AA'} = \left( {x - 1;y;\,z - 1} \right) = \left( {2;\,5;\, - 7} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\y = 5\\z - 1 = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\\z = - 6\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {3;\,5;\, - 6} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.