Một chi tiết trong bộ trang sức có hình bát diện đều, được gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Các hình chóp S.ABCD và I.ABCD là các hình chóp tứ giác đều cạnh \(1\,{\rm{cm}}\).

a) Tính tổng hoành độ các đỉnh \(S,A,B,C,D,I\).
b) Tính số đo góc nhị diện \[\left[ {S;CD;I} \right]\] theo đơn vị độ, làm tròn đến hàng đơn vị.
Một chi tiết trong bộ trang sức có hình bát diện đều, được gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Các hình chóp S.ABCD và I.ABCD là các hình chóp tứ giác đều cạnh \(1\,{\rm{cm}}\).
a) Tính tổng hoành độ các đỉnh \(S,A,B,C,D,I\).
b) Tính số đo góc nhị diện \[\left[ {S;CD;I} \right]\] theo đơn vị độ, làm tròn đến hàng đơn vị.
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Ôn tập cuối chương 2 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:

a) Đáp số: \(0\).
Ta có \(OA = OB = OC = OD = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) nên \(A\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }};0;0} \right),B\left( {0; - \frac{1}{{\sqrt 2 }};0} \right)\)\(,C\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }};0;0} \right)\),
\(D\left( {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }};0} \right)\)
Ta có \(OI = SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) nên \(S\left( {0;0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),I\left( {0;0; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\).
Tổng hoành độ các đỉnh \(S,A,B,C,D,I\) là:
\( - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 0 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 0 + 0 + 0 = 0\).
b) Đáp số: \(109\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\) thì \(M\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }};\frac{1}{{2\sqrt 2 }};0} \right)\).
Có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S;CD;I} \right] = \widehat {SMI}\).
Ta có \(\overrightarrow {MS} \left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}; - \frac{1}{{2\sqrt 2 }};\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),\overrightarrow {MI} \left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}; - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\).
\[ \Rightarrow \cos \widehat {SMI} = \frac{{ - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}. - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} + - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}. - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}. - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}}{{\sqrt {{{\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} }} = - \frac{1}{3}\]
\[ \Rightarrow \widehat {SMI} \approx 109^\circ \].
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Đúng.
b) Đúng.
Ta có: \(\overrightarrow {C'K} = \overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {CK} = \overrightarrow {C'C} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {C'C} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {C'A'} + \overrightarrow {C'D'} } \right)\)
\( = \overrightarrow {C'C} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {C'B'} + \overrightarrow {C'D'} + \overrightarrow {C'D'} } \right) = \overrightarrow {C'C} + \frac{1}{2}\overrightarrow {C'B'} + \overrightarrow {C'D'} \)
c) Sai.
Ta có: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {B'D'} = \left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {B'B} } \right).\overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {B'D'} + \overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {B'D'} + \overrightarrow {B'B} .\overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {B'D'} \]
\( = A'B'.B'D'.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = a.a\sqrt 2 .{\rm{cos}}\left( {135^\circ } \right) = - {a^2}\)
d) Đúng.
Ta đặt \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow c \]. Ta có \[\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow c } \right| = a\]
\[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \] hay \[\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \]
Mặt khác
\[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} } \right) - \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DM} } \right)\] với \[\overrightarrow {BN} = \frac{x}{a}.\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow {DM} = \frac{x}{a}.\overrightarrow b \]
Do đó \[\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow b + \frac{x}{a}\overrightarrow a } \right) - \left( {\overrightarrow c + \frac{x}{a}\overrightarrow b } \right) = \frac{x}{a}\overrightarrow a + \left( {a - \frac{x}{a}} \right)\overrightarrow b - \overrightarrow c \]
Ta có \[\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\left[ {\frac{x}{a}\overrightarrow a + \left( {a - \frac{x}{a}} \right)\overrightarrow b - \overrightarrow c } \right]\]
Vì \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0,\overrightarrow a .\overrightarrow c = 0,\overrightarrow b .\overrightarrow c = 0\] nên ta có
\[\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MN} = \frac{x}{a}{\overrightarrow a ^2} + \left( {1 - \frac{x}{a}} \right){\overrightarrow b ^2} - {\overrightarrow c ^2} = x.a + \left( {1 - \frac{x}{a}} \right){a^2} - {a^2} = 0\], vậy góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AC'} \] và \(\overrightarrow {MN} \) bằng \(90^\circ \).
Lời giải
Tam giác \[ABC\] có \[AB = a,\,AC = a,\,BC = a\sqrt 2 \Rightarrow \Delta ABC\] vuông tại \[A \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\].
\[\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} }}{{\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AB} }}{{SC.AB}} = \frac{{\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} }}{{SC.AB}} = \frac{{SA.AB.\cos 120^\circ }}{{SC.AB}} = \frac{{a.a.\left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{{a.a}} = - \frac{1}{2}.\]
Suy ra \[\left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = 120^\circ \].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.