Câu hỏi:

02/10/2025 16 Lưu

 Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {8;9;2} \right)\), \(B\left( {3;5;1} \right)\) và \(C\left( {11;10;4} \right)\).

a) Điểm \(D\) thỏa mãn \(ABCD\) là hình bình hành có tọa độ là \(D\left( {6;6;3} \right)\)

b) Độ dài trung tuyến \(AM\) bằng \(\frac{{\sqrt {14} }}{2}\).

c) \(\widehat {BAC} = {30^ \circ }\).

d) Điểm \(N\) thuộc mp\(\left( {Oxy} \right)\) sao cho ba điểm \(A\), \(B\), \(N\) thẳng hàng có tọa độ là \(N\left( { - 2;1;0} \right)\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Sai

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {DC}  = \left( {11 - x;10 - y;4 - z} \right)\).

Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 = 11 - x\\ - 4 = 10 - y\\ - 1 = 4 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 14\\z = 5.\end{array} \right.\)

Vậy \(D\left( {16;14;5} \right)\).

b) Đúng

Tọa độ trung điểm \(M\) của \(BC\) là \(M\left( {7;\frac{{15}}{2};\frac{5}{2}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 1; - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\). Suy ra \(AM = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).

c) Sai

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {AC}  = \left( {3;1;2} \right)\).

Ta có \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{\left( { - 5} \right).3 + \left( { - 4} \right).1 + \left( { - 1} \right).2}}{{\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2} + {2^2}} }} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra \(\widehat {BAC} = {150^ \circ }\).

d) Đúng

Vì \(N \in \left( {Oxy} \right)\) nên \(N\left( {x;y;0} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)\); \(\overrightarrow {AN}  = \left( {x - 8;y - 9; - 2} \right)\).

Vì 3 điểm \(A,B,N\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AN} \). Khi đó:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 8}}{{ - 5}} = 2\\\frac{{y - 9}}{{ - 4}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 8 =  - 10\\y - 9 =  - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 1.\end{array} \right.\]

Vậy \(N\left( { - 2;1;0} \right)\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD,\,\,B\left( {3;0;8} \right),\,\,D\left( { - 5; - 4;0} \right)\). Biết đỉnh \(A\) thuộc mặt phẳ (ảnh 1)

\(\overrightarrow {BD}  = \left( { - 8; - 4; - 8} \right)\)\( \Rightarrow BD = 12\)\( \Rightarrow AB = \frac{{12}}{{\sqrt 2 }}\)\( = 6\sqrt 2 \).

Gọi \(M\)là trung điểm \(AB\)\( \Rightarrow MC = 3\sqrt {10} \).

\(\left| {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} } \right|\)\( = \left| {2\overrightarrow {CM} } \right|\)\( = 2CM\)\( = 6\sqrt {10} \).

Lời giải

Ta có: \(A\left( {1,5;1; - 0,5} \right)\) và \(C\left( {1;3;2} \right)\)

\(\overrightarrow {AC} \left( { - 0,5;2;2,5} \right)\)

Khi đó phương trình đường thẳng \(AC\) là\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 0,5t + 1\\y = 2t + 3\\z = 2,5t + 2\end{array} \right.\) suy ra \(2,5t + 2 = 0 \Rightarrow t =  - \frac{4}{5}\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{5}\\y = \frac{7}{5}\\z = 0\end{array} \right.\) hay \(B\left( {\frac{7}{5};\frac{7}{5};0} \right)\)