Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'; Các điểm \(M,\,N\)lần lượt thuộc các đường thẳng CA và \(DC'\)sao cho \(\overrightarrow {MC}  = m\overrightarrow {MA} ;\,\,\overrightarrow {ND}  = m\overrightarrow {NC'} \). Đặt \[\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow b ;\,\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow c \]

a)\(\overrightarrow {BD'}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  - \overrightarrow c \).

b)\(\overrightarrow {BM}  = \frac{{\overrightarrow c  - m\overrightarrow a }}{{1 - m}}\).

c) \(\overrightarrow {BN}  = \frac{1}{{1 - m}}\overrightarrow a  - \frac{m}{{1 - m}}\overrightarrow b  + \overrightarrow c \).

d) \(m = \frac{1}{2}\) thì \(MN\)//\(BD'\)

a) Sai:

Theo quy tắc hình hộp ta có

\(\overrightarrow {BD'}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c \)

b) Đúng

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {MC}  = m\overrightarrow {MA}  \Rightarrow \overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BM}  = m\overrightarrow {BA}  - m\overrightarrow {BM} \\ \Rightarrow (1 - m)\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {BC}  - m\overrightarrow {BA} \\ \Rightarrow \overrightarrow {BM}  = \frac{{\overrightarrow {BC}  - m\overrightarrow {BA} }}{{1 - m}} = \frac{{\overrightarrow c  - m\overrightarrow a }}{{1 - m}}\end{array}\]

c) Đúng

Tương tự ta có

\(\overrightarrow {BN}  = \frac{{\overrightarrow {BD}  - m\overrightarrow {BC'} }}{{1 - m}} = \frac{{\overrightarrow a  + \overrightarrow c  - m(\overrightarrow b  + \overrightarrow c )}}{{1 - m}} = \frac{1}{{1 - m}}\overrightarrow a  - \frac{m}{{1 - m}}\overrightarrow b  + \overrightarrow c \)

d) Sai

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {BN}  - \overrightarrow {BM} \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \frac{{1 + m}}{{1 - m}}\overrightarrow a  - \frac{m}{{1 - m}}\overrightarrow b  - \frac{m}{{1 - m}}\overrightarrow c \end{array}\)

Vì \(MN\)//\(BD'\) nên \[\overrightarrow {MN} \] cùng phương \(\overrightarrow {BD'} \). Từ đó ta có

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {MN}  = k\overrightarrow {BD'} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + m}}{{1 - m}} = k\\ - \frac{m}{{1 - m}} = k\\ - \frac{m}{{1 - m}} = k\end{array} \right.\\ \Rightarrow m =  - \frac{1}{2}.\end{array}\]