Câu hỏi:

02/10/2025 114

Trong không gian Oxyz, cho $\Delta ABC$với $A\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)$, $B\left( {4\,;\,5\,;\,6} \right)$, $C\left( {2\,;\,7\,;\,4} \right)$

a) Tọa độ trung điểm của cạnh $AB$ là $M\left( {\frac{5}{2}\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{9}{2}} \right)$.

b) Tọa độ trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$ là $G\left( {\frac{7}{3};\,\frac{{14}}{3}\,;\,\frac{{13}}{3}} \right)$.

c) Tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $ là 31.

d) Chu vi và diện tích của $\Delta ABC$ lần lượt là $8\sqrt 3 $ và $6\sqrt 2 \,$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Ôn tập cuối chương 2 (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Đúng.

Gọi $M$ là trung điểm của cạnh$AB$.

Ta có: $M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\,;\,\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\,;\,\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)$

Vậy: $M\left( {\frac{5}{2}\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{9}{2}} \right)$.

b) Đúng.

Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.

Ta có: $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\,\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\,;\,\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)$

Vậy: $G\left( {\frac{7}{3};\,\frac{{14}}{3}\,;\,\frac{{13}}{3}} \right)$.

c) Sai.

Ta có:

$\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A}\,;\,{y_B} - {y_A}\,;\,{z_B} - {z_A}} \right) = \left( {3\,;\,3\,;\,3} \right)$

$\overrightarrow {AC} = \left( {{x_C} - {x_A}\,;\,{y_C} - {y_A}\,;\,{z_C} - {z_A}} \right) = \left( {1\,;\,5\,;\,1} \right)$

Tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 3.1 + 3.5 + 3.1 = 21$.

d) Đúng.

Ta có:

$AB = \sqrt {{{(4 - 1)}^2} + {{(5 - 2)}^2} + {{(6 - 3)}^2}} = 3\sqrt 3 $

$BC = \sqrt {{{(2 - 4)}^2} + {{(7 - 5)}^2} + {{(4 - 6)}^2}} = 2\sqrt 3 $

$AC = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{(7 - 2)}^2} + {{(4 - 3)}^2}} = 3\sqrt 3 $

Chu vi $\Delta ABC$:

${P_{\Delta ABC}} = AB + BC + AC = 3\sqrt 3 + 2\sqrt 3 + 3\sqrt 3 = 8\sqrt 3 $.

Ta có nửa chu vi $\Delta ABC$ là $p = \frac{1}{2}.8\sqrt 3 = 4\sqrt 3 $.

Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích tam giác $ABC$ là:

${S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BC} \right)\left( {p - AC} \right)} $

$ = \sqrt {4\sqrt 3 \left( {4\sqrt 3 - 3\sqrt 3 } \right)\left( {4\sqrt 3 - 2\sqrt 3 } \right)\left( {4\sqrt 3 - 3\sqrt 3 } \right)} = 6\sqrt 2 \,$.

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một tấm gỗ tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm $A,B,C$ trên tấm gỗ tròn sao cho các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} $ lần lượt trên mỗi dây $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 10\left( N \right)$ (xem hình vẽ).

$Một tấm gỗ tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn xuất phát từ điểm $O$ trên tr (ảnh 1)$

Tính trọng lượng $P$ của tấm gỗ tròn đó.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp số: $10\sqrt 3 \,\,\left( N \right)$.

$Một tấm gỗ tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không giãn xuất phát từ điểm $O$ trên tr (ảnh 2)$

Gọi ${A_1},{B_1},{C_1}$ lần lượt là các điểm sao cho $\overrightarrow {O{A_1}} = \overrightarrow {{F_1}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {O{B_1}} = \overrightarrow {{F_2}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {O{C_1}} = \overrightarrow {{F_3}} $

Lấy các điểm $D_{1}, A_{1}^{'}, B_{1}^{'}, D_{1}^{'}$ sao cho $O A_{1} D_{1} B_{1} . C_{1} A_{1}^{'} D_{1}^{'} B_{1}^{'}$ là hình hộp.

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\vec{O A_{1}} + \vec{O B_{1}} + \vec{O C_{1}} = \vec{O D_{1}^{'}}$

Do các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} $ đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn: $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 10\left( N \right)$ nên hình hộp $O A_{1} D_{1} B_{1} . C_{1} A_{1}^{'} D_{1}^{'} B_{1}^{'}$ có ba cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và bằng nhau. Vì thế $O A_{1} D_{1} B_{1} . C_{1} A_{1}^{'} D_{1}^{'} B_{1}^{'}$ là hình lập phương có độ dài cạnh bằng $10$, suy ra độ dài đường chéo bằng $10\sqrt 3 $

Câu 2

(1,0 điểm) Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt $S\left( {0;0;30} \right)$_vàcác điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt là $A\left( {30;0;0} \right),B\left( {0;20;0} \right),C\left( { - 20;0;0} \right),D\left( {0; - 20;0} \right)$ (đơn vị cm). Cho biết trọng lực tác dụng lên chậu cây có độ lớn $60N$và được phân bố thành bốn lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} $ có độ lớn bằng nhau như hình vẽ. Tính $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + 2\overrightarrow {{F_2}} + 3\overrightarrow {{F_3}} + 4\overrightarrow {{F_4}} } \right|$_(kếtquả làm tròn đến hàng đơn vị)

$Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt $S\left( {0;0;30} \right)$ và các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt là \(A\left( {30;0;0} \right),B\left( {0;20;0} \right),C\left( { - 20;0;0} \ri (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

$Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt $S\left( {0;0;30} \right)$ và các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt là \(A\left( {30;0;0} \right),B\left( {0;20;0} \right),C\left( { - 20;0;0} \ri (ảnh 2)$

Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình vuông.

Ta có: $\overrightarrow {SA} = \left( {30;0; - 30} \right),\overrightarrow {SB} = \left( {0;20; - 20} \right),\overrightarrow {SC} = \left( { - 20;0; - 20} \right),\overrightarrow {SD} = \left( {0; - 20; - 20} \right)$

$ \Rightarrow SA = SB = SC = SD = 30\sqrt 2 $. Do đó $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều.

Các vecto $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} $ có điểm đầu tại $S$ và điểm cuối lần lượt là $A',B',C',D'$.

Ta có $SA' = SB' = SC' = SD'$ nên $S.A'B'C'D'$ cũng là hình chóp tứ giác đều.

Gọi $\overrightarrow F $ là trọng lực tác dụng lên chậu cây và $O'$ là tâm của hình vuông $A'B'C'D'$. Ta có:

\[\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {SA'} + \overrightarrow {SB'} + \overrightarrow {SC'} + \overrightarrow {SD'} = 4\overrightarrow {SO'} \]

Ta có: $\left| {\overrightarrow F } \right| = 60 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SO'} } \right| = SO = 15$.

Do tam giác $SO'A'$ vuông cân nên $SA' = SO'\sqrt 2 = 15\sqrt 2 = \frac{1}{2}SA \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {SA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {SA} = \left( {15;0; - 15} \right)$

Chứng minh tương tự ta cũng có:

$\overrightarrow {{F_2}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} = \left( {0;15; - 15} \right),\overrightarrow {{F_3}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} = \left( { - 15;0; - 15} \right),\overrightarrow {{F_4}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {SD} = \left( {0; - 15; - 15} \right)$

Suy ra: $\overrightarrow {{F_1}} + 2\overrightarrow {{F_2}} + 3\overrightarrow {{F_3}} + 4\overrightarrow {{F_4}} = \left( { - 30; - 30; - 150} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} + 2\overrightarrow {{F_2}} + 3\overrightarrow {{F_3}} + 4\overrightarrow {{F_4}} } \right| = 90\sqrt 3 \approx 156$.

Câu 3