Cho hàm số \(f(x) = \tan x\) và \(g(x) = {\cot ^2}x - \frac{{\sin 2x}}{2}\). Khi đó:

a) Tập xác định hàm số \(f\left( x \right)\): \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).

b) Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm không tuần hoàn.

c) Tập xác định hàm số \(g\left( x \right)\): \(D = \mathbb{R}\backslash \{ k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.\} \).

d) Hàm số \(g\left( x \right)\) là hàm tuần hoàn.

Để hàm số \(y = \sqrt {\frac{{m - 1}}{m} - 2\cos 4x} \) xác định trên \(\mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{m} - 2\cos 4x \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{2m}} \ge \cos 4x \ge 1\\ \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{2m}} \ge 1 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 0.\end{array}\)

a) Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta có: \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow - 3 \le 3\sin x \le 3 \Rightarrow - 3 \le y \le 3\).

Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = [ - 3;3]\).

b) Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta có: \( - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow - 2 \le 2\cos x \le 2\) \( \Rightarrow - 2 - 1 \le 2\cos x - 1 \le 2 - 1 \Rightarrow - 3 \le y \le 1\).

Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = [ - 3;1]\).

c) Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta có: \( - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow 4 \ge - 4\cos x \ge - 4\) \( \Rightarrow 4 + 2030 \ge - 4\cos x + 2030 \ge - 4 + 2030 \Rightarrow 2034 \ge y \ge 2026\).

Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = [2026;2034]\).

d) Ta có: \(y = {\sin ^2}x + 4\sin x - 1 = {\sin ^2}x + 4\sin x + 4 - 5 = {(\sin x + 2)^2} - 5\).

Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta có: \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 1 \le \sin x + 2 \le 3\)

\( \Rightarrow {1^2} \le {(\sin x + 2)^2} \le {3^2} \Rightarrow {1^2} - 5 \le {(\sin x + 2)^2} - 5 \le {3^2} - 5 \Rightarrow - 4 \le y \le 4\).

Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = [ - 4;4]\).