Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 2}\\{{u_{n + 1}} - {u_n} = 2n - 1}\end{array}} \right.\).  Khi đó:

a) Ta có \({u_2} = 3\)

b) Ta có \({u_4} = 11\)

c) Ta có \({u_{2024}} = 4092536\)

d) Ta có \({u_{2023}} = 4088482\)

Nhận xét: \({u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\sqrt {n + 2}  - \sqrt {n + 1} }}{{\sqrt {n + 1}  - \sqrt n }}\)

\( = \frac{{(\sqrt {n + 2}  - \sqrt {n + 1} )(\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} )(\sqrt {n + 1}  + \sqrt n )}}{{(\sqrt {n + 1}  - \sqrt n )(\sqrt {n + 1}  + \sqrt n )(\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} )}} = \frac{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }}{\rm{. }}\)

Vì \(0 < \sqrt {n + 1}  + \sqrt n  < \sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} \) nên \(\frac{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }} < 1\)

hay \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Suy ra \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

a) Ta có: \(2{u_{n + 1}} = {u_n} + {u_{n + 2}} \Rightarrow {u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} \Rightarrow {v_{n + 2}} = {v_{n + 1}}\)

Tương tự, ta chứng minh được \({v_{n + 1}} =  \ldots  = {v_2} = 1\), hay dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy không đổi.

b) Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = 1 \Rightarrow {u_n} = {u_{n - 1}} + 1\)

Suy ra \({u_n} = \left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right) + \left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right) +  \ldots  + \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + {u_1}\)

\( = 1 + 1 +  \ldots  + 1 + {u_1} = n - 1 + 2023 = n + 2022.{\rm{ }}\)

Khi đó \({u_{2024}} = 4046\)