Một của hàng bán 3 loại hoa quả nhập khẩu: Nho Mỹ, Lê Hàn Quốc và Táo New Zealand. Sau khi giảm giá mỗi loại lần lượt là \(x,\)\(y,\)\(z\) trên \(1kg\)thì số liệu tính toán được ghi lại bởi bảng sau:

 

Biết rằng \(x + y + z = 120\). Tính giá trị \(x,\)\(y,\)\(z\) để lợi nhuận bình quân của \(1kg\)hoa quả đạt được cao nhất.

Vì số lượng hoa quả bán được là \(250 + x + 200 + y + 180 + z = 750\)là cố định nên bình quân mỗi \(kg\)hoa quả có giá cao nhất khi số tiền thu được là cao nhất.

Gọi \(P\) là tổng số tiền thu được.

Khi đó \(P = \left( {250 - x} \right)(250 + x) + (200 - y)(200 + y) + (180 - z)(180 + z)\)

\( = {250^2} - {x^2} + {200^2} - {y^2} + {180^2} - {z^2}\)=\(134900 - {x^2} - {y^2} - {z^2}\).

Ta có bất đẳng thức: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{1}{3}{\left( {x + y + z} \right)^2} = 4800\].

Do đó \(P \le 130100\).

Vậy \(P\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 120\\x = y = z\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = y = z = 40\).