Đề kiểm tra Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (có lời giải) - Đề 2

Chọn D

Trong mỗi khoảng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các bạn học sinh này là:

\(\bar x = \frac{{8 \times 2,5 + 16 \times 7,5 + 4 \times 12,5 + 2 \times 17,5 + 2 \times 22,5}}{{8 + 16 + 4 + 2 + 2}} = 8,4375\).

Khi độ chênh lệch các số liệu trong mẫu quá lớn thì Số trung vị là đại lượng thích hợp đại diện cho các số liệu trong mẫu.

Ta có số phần tử của mẫu là: \[n = 42 \Rightarrow \frac{n}{2} = 21\].

Mà \[c{f_2} = 18 < 21 < c{f_3} = 30\] suy ra nhóm \[3\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[21\].

Xét nhóm \[3\] là nhóm \[\left[ {3\,;\,4} \right)\] có \[r = 3\,;\,d = 1\,;\,{n_3} = 12\]và nhóm \[2\] là nhóm \[\left[ {2\,;\,3} \right)\]có \[c{f_2} = 18\].

Áp dụng công thức ta có trung vị của mẫu số liệu là:

\[{M_e} = 3 + \left( {\frac{{21 - 18}}{{12}}} \right).1 = 3,25\].

Ta có bảng tần số ghép lớp, tần số tích lũy sau:

Ta có số phần tử của mẫu là: \[n = 45 \Rightarrow \frac{n}{2} = 22,5\].

Mà \[c{f_2} = 16 < 22,5 < c{f_3} = 25\] suy ra nhóm \[3\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[22,5\].

Xét nhóm \[3\] là nhóm \[\left[ {5\,;\,6} \right)\] có \[r = 5\,;\,d = 1\,;\,{n_3} = 9\,\]và nhóm \[2\] là nhóm \[\left[ {4\,;\,5} \right)\]có \[c{f_2} = 16\].

Áp dụng công thức ta có trung vị của mẫu số liệu là: \[{M_e} = 5 + \left( {\frac{{22,5 - 16}}{9}} \right).1 \approx 5,7\].

Ta có số phần tử của mẫu là: \[n = 42 \Rightarrow \frac{n}{4} = 10,5\].

Suy ra nhóm \[2\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[10,5\].

Xét nhóm \[2\] là nhóm \[\left[ {2\,;\,3} \right)\] có \[s = 2\,;\,h = 1\,;\,{n_2} = 10\,\]và nhóm \[1\] là nhóm \[\left[ {1\,;\,2} \right)\]có \[c{f_1} = 8\].

Áp dụng công thức tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu có:

\[{Q_1} = 2 + \left( {\frac{{10,5 - 8}}{{10}}} \right).1 = 2,25\].

Ta có số phần tử của mẫu là: \[n = 42 \Rightarrow \frac{n}{2} = 21\].

Mà \[c{f_2} = 18 < 21 < c{f_3} = 30\] suy ra nhóm \[3\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[21\].

Xét nhóm \[3\] là nhóm \[\left[ {3\,;\,4} \right)\] có \[r = 3\,;\,d = 1\,;\,{n_3} = 12\]và nhóm \[2\] là nhóm \[\left[ {2\,;\,3} \right)\]có \[c{f_2} = 18\].

Áp dụng công thức ta có trung vị của mẫu số liệu là:

\[{M_e} = 3 + \left( {\frac{{21 - 18}}{{12}}} \right).1 = 3,25\].

Vậy tứ phân vị thứ \[2\] là \[{Q_2} = {M_e} = 3,25\].

Ta có số phần tử của mẫu là: \[\frac{{3n}}{4} = 31,5\].

Suy ra nhóm \[4\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[31,5\].

Xét nhóm \[4\] là nhóm \[\left[ {4\,;\,5} \right)\] có \[t = 4\,;\,l = 1\,;\,{n_4} = 9\,\]và nhóm \[3\] là nhóm \[\left[ {3\,;\,4} \right)\]có \[c{f_3} = 30\].

Áp dụng công thức tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu có:

\[{Q_3} = 4 + \left( {\frac{{31,5 - 30}}{9}} \right).1 = \frac{{25}}{6}\].

Vậy \[{Q_1} = 2,25\,;\,{Q_2} = 3,1\,;\,{Q_3} = \frac{{25}}{6} \approx 4,166\] nên tứ phân vị luôn tăng.

Ta có bảng tần số ghép lớp, tần số tích lũy sau:

Ta có số phần tử của mẫu là: \[n = 45 \Rightarrow \frac{n}{4} = 11,25\].

Suy ra nhóm \[2\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[11,25\].

Xét nhóm \[2\] là nhóm \[\left[ {4\,;\,5} \right)\] có \[s = 4\,;\,h = 1\,;\,{n_2} = 11\,\]và nhóm \[1\] là nhóm \[\left[ {3\,;\,4} \right)\]có \[c{f_1} = 5\].

Áp dụng công thức tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu có:

\[{Q_1} = 4 + \left( {\frac{{11,25 - 5}}{{11}}} \right).1 \approx 4,6\]

Ta có số phần tử của mẫu là: \[n = 45 \Rightarrow \frac{n}{2} = 22,5\].

Mà \[c{f_2} = 16 < 22,5 < c{f_3} = 25\] suy ra nhóm \[3\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[22,5\].

Xét nhóm \[3\] là nhóm \[\left[ {5\,;\,6} \right)\] có \[r = 5\,;\,d = 1\,;\,{n_3} = 9\,\]và nhóm \[2\] là nhóm \[\left[ {4\,;\,5} \right)\]có \[c{f_2} = 16\].

Áp dụng công thức ta có trung vị của mẫu số liệu là:

\[{M_e} = 5 + \left( {\frac{{22,5 - 16}}{9}} \right).1 \approx 5,7\].

Suy ra \[{Q_2} = {M_e} \approx 5,7\]

Ta có số phần tử của mẫu là: \[n = 45 \Rightarrow \frac{{3n}}{4} = 33,75\].

Suy ra nhóm \[5\] là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \[33,75\].

Xét nhóm \[5\] là nhóm \[\left[ {7\,;\,8} \right)\] có \[t = 7\,;\,l = 1\,;\,{n_4} = 8\,\]và nhóm \[4\] là nhóm \[\left[ {6\,;\,7} \right)\]có \[c{f_4} = 31\].

Áp dụng công thức tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu có:

\[{Q_3} = 7 + \left( {\frac{{33,75 - 31}}{8}} \right).1 \approx 7,3\].

Vì số lượng hoa quả bán được là \(250 + x + 200 + y + 180 + z = 750\)là cố định nên bình quân mỗi \(kg\)hoa quả có giá cao nhất khi số tiền thu được là cao nhất.

Gọi \(P\) là tổng số tiền thu được.

Khi đó \(P = \left( {250 - x} \right)(250 + x) + (200 - y)(200 + y) + (180 - z)(180 + z)\)

\( = {250^2} - {x^2} + {200^2} - {y^2} + {180^2} - {z^2}\)=\(134900 - {x^2} - {y^2} - {z^2}\).

Ta có bất đẳng thức: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{1}{3}{\left( {x + y + z} \right)^2} = 4800\].

Do đó \(P \le 130100\).

Vậy \(P\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 120\\x = y = z\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = y = z = 40\).