Thời gian đọc sách mỗi ngày của một số học sinh được cho trong bảng sau

Xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.              

Cỡ mẫu của mẫu số liệu là \(n = 61\).

Gọi \({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{61}}\) là mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Trung vị của mẫu số liệu này là \({x_{31}} \in [30;35)\).

Ta có: \({n_m} = 26;{C_1} = 4 + 12 = 16;{u_m} = 30;{u_{m + 1}} = 35\).

Tứ phân vị thứ hai chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_2} = {M_e} = 30 + \frac{{\frac{{61}}{2} - 16}}{{26}}(35 - 30) = \frac{{1705}}{{52}} \approx 32,79(\;cm){\rm{. }}\)

Xét nửa mẫu số liệu bên trái \({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{30}}\) có trung vị \(\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2} \in [25;30)\).

Ta có: \({n_i} = 12;{C_1} = 4;{x_i} = 25;{x_{i + 1}} = 30\).

Suy ra tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: \({Q_1} = 25 + \frac{{\frac{{61}}{4} - 4}}{{12}}(30 - 25) = \frac{{475}}{{16}} \approx 29,69(\;cm)\).

Xét nửa mẫu số liệu bên trái \({x_{32}},{x_{33}}, \ldots ,{x_{61}}\) có trung vị \(\frac{{{x_{46}} + {x_{47}}}}{2} \in [35;40)\).

Ta có: \({n_j} = 13;{C_3} = 4 + 12 + 26 = 42;{x_i} = 35;{x_{i + 1}} = 40\).

Suy ra tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: \({Q_3} = 35 + \frac{{\frac{{3.61}}{4} - 42}}{{13}}(40 - 35) = \frac{{1895}}{{52}} \approx 36,44(\;cm)\).

Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_1} \approx 29,69;{Q_2} = 32,79;{Q_3} = 36,44.{\rm{ }}\)

Vì số lượng hoa quả bán được là \(250 + x + 200 + y + 180 + z = 750\)là cố định nên bình quân mỗi \(kg\)hoa quả có giá cao nhất khi số tiền thu được là cao nhất.

Gọi \(P\) là tổng số tiền thu được.

Khi đó \(P = \left( {250 - x} \right)(250 + x) + (200 - y)(200 + y) + (180 - z)(180 + z)\)

\( = {250^2} - {x^2} + {200^2} - {y^2} + {180^2} - {z^2}\)=\(134900 - {x^2} - {y^2} - {z^2}\).

Ta có bất đẳng thức: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{1}{3}{\left( {x + y + z} \right)^2} = 4800\].

Do đó \(P \le 130100\).

Vậy \(P\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 120\\x = y = z\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = y = z = 40\).