20 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Bài 5: Dãy số có đáp án

B

\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 2}} - {\rm{3}}{\rm{.1 = }} - {\rm{1}}\].

\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 1; }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 10}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}} - {\rm{9}}{\rm{.1 = 10}}{\rm{.1}} - {\rm{9}}{\rm{.1 = 1; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = 10}}{{\rm{u}}_{\rm{2}}} - {\rm{9}}{\rm{.2 = 10}}{\rm{.1}} - {\rm{9}}{\rm{.2 = }} - {\rm{8}}\]

Ta có:\[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\left( {{\rm{n + 1}}} \right) - {\rm{1}}}}{{{\rm{2}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right){\rm{ + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n + 1}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{2n + 2 + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{2n + 3}}}}\]

Xét hiệu: \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{2n + 3}}}} - \frac{{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{2n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{2n + 1}}} \right) - \left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}\]

\[{\rm{ = }}\frac{{\left( {{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + n}}} \right) - \left( {{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}} - {\rm{2n + 3n}} - {\rm{3}}} \right)}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}\]

\[{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + n}} - {\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2n}} - {\rm{3n + 3}}}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{3}}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{\rm{ > 0,}}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\].

Vậy\[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ > 0}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}\]. Vậy dãy số (u_n) là dãy số tăng.

Ta có:

\[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{3n}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{3n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\left( {{\rm{3n + 1}}} \right) - {\rm{2}}}}{{{\rm{3n + 1}}}}{\rm{ = 1}} - \frac{{\rm{2}}}{{{\rm{3n + 1}}}}\].

\[{\rm{n}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{\rm{2}}}{{{\rm{3n + 1}}}}{\rm{ > 0}} \Leftrightarrow {\rm{1}} - \frac{{\rm{2}}}{{{\rm{3n + 1}}}} < 1\].

Vậy (u_n) bị chặn trên bởi 1.

Liệt kê các số hạng của dãy số.

Ta có u_{n + 1}  - u_n = (n + 1)² + 5 – (n² + 5) = 2n + 1 > 0, ∀n ≥ 1. Suy ra dãy số tăng.

Nhìn vào dãy số ta thấy u₁ = 2.1 = 2 là số hạng đầu và u_n = 2n là số hạng tổng quát.

\[{{\rm{u}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{ = 5 = 5}}{\rm{.1; }}{{\rm{u}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ = 10 = 5}}{\rm{.2; }}{{\rm{u}}_{{\rm{3 }}}}{\rm{ = 15 = 5}}{\rm{.3; }}{{\rm{u}}_{{\rm{4 }}}}{\rm{ = 20 = 5}}{\rm{.4; }}{{\rm{u}}_{{\rm{5 }}}}{\rm{ = 25 = 5}}{\rm{.5}}\]

Vậy \[{{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ = 5n}}\].