Cho tứ diện ABCD. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,AD\) và \(P\) là một điểm nằm trên \(CD\). Đường thẳng \(BC\) cắt mặt phẳng \((MNP)\) tại \(Q\). Chứng minh rằng \(PQ//BD\)

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((GIJ)\) và \((BCD)\):

Vì \(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(ACD\) nên \(IJ//CD\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{G \in (GIJ) \cap (BCD)}\\{IJ//CD}\\{IJ \subset (GIJ),CD \subset (BCD)}\end{array} \Rightarrow Gx = (GIJ) \cap (BCD)} \right.\), trong đó \(Gx\) là đường thẳng qua \(G\) và \(Gx//IJ//CD\).

c) Trong mặt phẳng \((BCD)\), kẻ \(Gx\) song song \(CD\) cắt \(BC\) tại \(M\), cắt \(BD\) tại \(N\).

Tính \(2IJ + 3MN\)

Gọi \(E\) là trung điểm \(CD\), theo định lí Thalès, ta có:

\(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BG}}{{BE}} = \frac{2}{3}{\rm{ (v\`i }}GM//CE);\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{{BM}}{{BC}}{\rm{ (v\`i }}MN//CD{\rm{)}}{\rm{. }}\)

Suy ra \(\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{2}{3}\) hay \(MN = \frac{2}{3}CD = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\).

Vì \(IJ\) là đường trung bình tam giác \(ACD\) nên \(IJ = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\).

Do đó \(2IJ + 3MN = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 18\).

d) \(3IJ + 2MN = 3 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 17\)

Chọn B

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ICD} \right) \cap \left( {SCD} \right) = CD\\\left( {ICD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\end{array} \right.\) \(\left( 1 \right)\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(E = IC \cap SA \Rightarrow \left( {ICD} \right) \equiv \left( {ECD} \right)\)\( \Rightarrow \left( {ECD} \right) \cap \left( {SAD} \right) = ED\) \(\left( 2 \right)\).

Vì \(AB{\rm{//}}CD\) nên \(\left( {ECD} \right) \cap \left( {SAB} \right)\) theo giao tuyến là đường thẳng đi qua \(E\) và song song với \(AB\), \(CD\) cắt \(SB\) tại \(F\)\( \Rightarrow \left( {ECD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = EF\) \(\left( 3 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) suy ra mặt phẳng \(\left( {ICD} \right)\) cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác \(CDEF\).

Vì \(EF\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên tứ giác \(CDEF\) là hình thang.