Cho hình lăng trụ tứ giác \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Một mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }} \right)\) cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại \({A^{\prime \prime }},{B^{\prime \prime }},{C^{\prime \prime }},{D^{\prime \prime }}\). Hỏi hình tạo bởi các điểm \(A,B,C,D,{A^{\prime \prime }},{B^{\prime \prime }},{C^{\prime \prime }},{D^{\prime \prime }}\) là hình gì?

a) b) Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\)

nên \(MN//AD \Rightarrow MN//BC \Rightarrow MN//(SBC)\). (1)

Tương tự, ta có \(O,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BD,SD\) nên \(ON\) là đường trung bình của tam giác \(SBD \Rightarrow ON//SB \Rightarrow ON//(SBC)\). (2)

Từ (1) và \((2)\) suy ra \((OMN)//(SBC)\).

c) Ta có \(OE\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\) nên \(OE//AD \Rightarrow OE//MN\).

Do đó \(E \in (OMN)\). Mặt khác \(F \in ON,ON \subset (OMN) \Rightarrow F \in (OMN)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{EF \subset (OMN)}\\{(OMN)//(SBC)}\end{array} \Rightarrow EF//(SBC)} \right.\).

d)

Vì \(G\) thuộc mặt phẳng \((ABCD)\) và cách đều \(AB,CD\) nên \(G\) thuộc đường trung bình của hình bình hành \(ABCD\) (ứng với hai cạnh \(AB,CD\)).

Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\) thì \(I,O,G\) thẳng hàng.

Ta có \(OI\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) nên \(OI//AB \Rightarrow OI//(SAB)\).(3)

Tương tự, ta có \(ON//SB \Rightarrow ON//(SAB)\).(4)

Từ (3), (4) suy ra \((OIN)//(SAB)\) mà \(NG \subset (OIN)\) nên \(NG//(SAB)\).

Ta có \((P)//(SBE),(ABCD) \cap (SBE) = BE\).

Mà \(I \in (P) \cap (ABCD)\) nên \((P) \cap (ABCD) = d\) với \(d//BE\).

Trong mặt phẳng \((ABCD)\), gọi \(M\) là giao điểm của \(d\) và \(BC;N\) là giao điểm của \(d\) và \(AD\).

Suy ra \((P) \cap (ABCD) = MN\).

Ta có \((P)//(SBE),(SBE) \cap (SAD) = SE\). Mà \(N \in (P) \cap (SAD)\) nên \((P) \cap (SAD) = Nx\) với \(Nx//SE\).

Trong mặt phẳng \((SAD)\), gọi \(P\) là giao điểm của \(Nx\) và \(SD\). Suy ra \((P) \cap (SAD) = NP\).

Ta có \(MN \subset (P),CD \subset (SCD),P \in (P) \cap (SCD),MN//CD\).

Suy ra \((P) \cap (SCD) = Py\) với \(Py//MN//CD\).

Trong mặt phẳng \((SCD)\), gọi \(Q\) là giao điểm của \(Py\) và \(SC\). Suy ra \((P) \cap (SCD) = PQ\).

Ta có \(Q \in SC\), suy ra \(Q \in (SCB)\). Mà \(Q \in (P)\), suy ra \(Q \in (SCB) \cap (P)\).

Tương tự, ta có \(M \in (SCB) \cap (P)\). Suy ra \((P) \cap (SBC) = QM\).