Tính giá trị của \(\lim \frac{{\cos n + \sin n}}{{{n^2} + 1}}.\)

Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+1}\right)$

Tính tổng $S=-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{5^2}+\cdots +{(-1)}^n\frac{1}{5^{n-1}}+\cdots$

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{\cos n}}{{{n^2}}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\).

Biết giới hạn \(\lim \frac{{2{n^2} + 1}}{{3{n^3} - 3n + 3}} = a\) và \(\lim \frac{{n\sqrt {{n^2} + 1} }}{{\sqrt {4{n^4} - {n^2} + 3} }} = b\). Khi đó:

a) Giá trị \(a\) nhỏ hơn 0.

b) Giá trị \(b\) lớn hơn 0.

c) Phương trình lượng giác \(\cos x = a\) có một nghiệm là \(x = \frac{\pi }{2}\)

d) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d = b\) và \({u_1} = a\), thì \({u_3} = \frac{3}{2}\)

Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được:\(0,212121 \ldots = \frac{a}{b}\); \(4,333 \ldots = \frac{c}{d}\). Khi đó:

a) \(a + b = 40\)

b) Ba số \(a;b;58\) tạo thành một cấp số cộng

c) \(c + d = 15\)

d) \(\lim c = 13\)

Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn \(\lim n{u_n} = 3\). Tìm giới hạn \(\lim \frac{{2n + 3}}{{{n^2}{u_n}}}\).