Đề kiểm tra Giới hạn của dãy số (có lời giải) - Đề 2

Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.

Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng \(0\)

Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Các mệnh đề sau đúng/sai?

a) Nếu \(\lim {u_n} = + \infty \) và \({{\mathop{\rm limv}\nolimits} _n} = a > 0\) thì \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right) = + \infty \).

b) Nếu \(\lim {u_n} = a \ne 0\) và \({{\mathop{\rm limv}\nolimits} _n} = \pm \infty \) thì \(\lim \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = 0\).

c) Nếu \(\lim {u_n} = a > 0\) và \({{\mathop{\rm limv}\nolimits} _n} = 0\) thì \(\lim \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = + \infty \).

d) Nếu \(\lim {u_n} = a < 0\) và \({{\mathop{\rm limv}\nolimits} _n} = 0\) và \({v_n} > 0\) với mọi \(n\) thì \(\lim \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = - \infty \).

Biết giới hạn \(\lim \frac{{5{n^3} - 2n + 1}}{{n - 2{n^3}}} = a\). Khi đó:

a) Giá trị \(a\) nhỏ hơn 0.

b) \(x = a\) là trục đối xứng của parabol \((P):y = {x^2} + 5x + 2\)

c) Phương trình lượng giác \(\sin x = a\) vô nghiệm

d) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d = 3\) và \({u_1} = a\), thì \({u_3} = 6\)

Biết giới hạn \(\lim \frac{{2{n^2} + 1}}{{3{n^3} - 3n + 3}} = a\) và \(\lim \frac{{n\sqrt {{n^2} + 1} }}{{\sqrt {4{n^4} - {n^2} + 3} }} = b\). Khi đó:

a) Giá trị \(a\) nhỏ hơn 0.

b) Giá trị \(b\) lớn hơn 0.

c) Phương trình lượng giác \(\cos x = a\) có một nghiệm là \(x = \frac{\pi }{2}\)

d) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d = b\) và \({u_1} = a\), thì \({u_3} = \frac{3}{2}\)

Viết được các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản, ta được:\(0,212121 \ldots = \frac{a}{b}\); \(4,333 \ldots = \frac{c}{d}\). Khi đó:

a) \(a + b = 40\)

b) Ba số \(a;b;58\) tạo thành một cấp số cộng

c) \(c + d = 15\)

d) \(\lim c = 13\)

Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn \(\lim n{u_n} = 3\). Tìm giới hạn \(\lim \frac{{2n + 3}}{{{n^2}{u_n}}}\).

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2-n}-\sqrt{n^2+1}\right)$

Tính tổng $S=-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{5^2}+\cdots +{(-1)}^n\frac{1}{5^{n-1}}+\cdots$

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{\cos n}}{{{n^2}}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\).

Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(12) = 2,121212... thành phân số.

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc \(150mg\). Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn \(5\% \). Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.