Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {{x^2} + 4} - 2}}{{{x^2}}}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ne 0\\2a - \frac{5}{4}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x = 0\end{array} \right.\). Tìm các giá trị thực của tham số \(a\) để hàm số\(f\left( x \right)\)liên tục tại \(x = 0\).

Chọn D

+ Ta có \(f\left( 0 \right) = 2a - \frac{5}{4}\).

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4}  - 2}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 4}  + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4}  + 2}}} \right) = \frac{1}{4}.\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow 2a - \frac{5}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = \frac{3}{4}\).