Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - \frac{x}{2}{\rm{ khi }}x \le 1}\\{\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}{\rm{ khi }}x > 1}\end{array}} \right.\) và \(g(x) = {x^2} - 3x + 1\) . Khi đó:

a) Hàm số \(f(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

b) Hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

c) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \frac{1}{2}{\rm{. }}\)

d) Hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Hàm số \(P(t)\) trên \((0;4]\) có công thức:

\(P(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}2&{{\rm{ khi }}}&{0 < t \le 1}\\3&{{\rm{ khi }}}&{1 < t \le 2}\\4&{{\rm{ khi }}}&{2 < t \le 3}\\5&{{\rm{ khi }}}&{3 < t \le 4}\end{array}} \right.\)(\(P\)tính theo chục nghìn đồng, \(t\) tính theo giờ).

Đồ thị của hàm số \(P(t)\) như Hình 1.

Trên mỗi nữa khoảng \((0;1],(1;2],(2;3]\) và \((3;4]\), hàm số đều có dạng \(P(t) = c\) (\[c\]là hằng số) nên hàm số liên tục trên mỗi khoảng này.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ - }} P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ - }} 2 = 2;\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} 3 = 3\). Do \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ - }} P(t) \ne \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} P(t)\) nên hàm số không liên tục tại điểm \(t = 1\).

Tương tự, chỉ ra được hàm số không liên tục tại các điểm \(t = 2\) và \(t = 3\).

Vậy hàm số liên tục trên các nửa khoảng \((0;1],(1;2],(2;3]\) và \[\left( {3;4} \right];\]gián đoạn tại các điểm \(t = 1,t = 2\) và \(t = 3\).

Tập xác định của hàm số là \[\mathbb{R}.\]

Hàm số gián đoạn tại \[x = 1\] khi \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) \ne f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} \ne 3m\]

\[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 1}} \ne 3m \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 2} \right) \ne 3m \Leftrightarrow 3 \ne 3m \Leftrightarrow m \ne 1.\]