Câu hỏi:

07/10/2025 48 Lưu

Tính \[\lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3} - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)\].

A. \[ + \infty \].          
B. \[1\].                    
C. \[ - \infty \].                               
D. \[\frac{2}{3}\].

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Chọn D

Ta có: \[\lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3}  - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)\]\[ = \lim n\left[ {\left( {\sqrt {4{n^2} + 3}  - 2n} \right) + \left( {2n - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)} \right]\]

\[ = \lim \left[ {n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3}  - 2n} \right) + n\left( {2n - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)} \right]\].

Ta có: \[\lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3}  - 2n} \right)\]\[ = \lim \frac{{3n}}{{\left( {\sqrt {4{n^2} + 3}  + 2n} \right)}}\]\[ = \lim \frac{3}{{\left( {\sqrt {4 + \frac{3}{{{n^2}}}}  + 2} \right)}} = \frac{3}{4}\].

Ta có: \[\lim n\left( {2n - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right)\]\[ = \lim \frac{{ - {n^2}}}{{\left( {4{n^2} + 2n\sqrt[3]{{8{n^3} + n}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8{n^3} + n} \right)}^2}}}} \right)}}\]

\[ = \lim \frac{{ - 1}}{{\left( {4 + 2\sqrt[3]{{8 + \frac{1}{{{n^2}}}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}^2}}}} \right)}} =  - \frac{1}{{12}}\].

Vậy \[\lim n\left( {\sqrt {4{n^2} + 3}  - \sqrt[3]{{8{n^3} + n}}} \right) = \frac{3}{4} - \frac{1}{{12}}\]\[ = \frac{2}{3}\].

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

A. \[L = \frac{5}{2}\].                               
B. \[L = + \infty \].                     
C. \[L = 2\].             
D. \[L = \frac{3}{2}\].

Lời giải

Chọn C

Ta có \(1 + 2 + 3 + ... + k\) là tổng của cấp số cộng có \({u_1} = 1\), \(d = 1\) nên \(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{\left( {1 + k} \right)k}}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{1 + 2 + ... + k}} = \frac{2}{{k\left( {k + 1} \right)}}\)\( = \frac{2}{k} - \frac{2}{{k + 1}}\), \(\forall k \in {\mathbb{N}^*}\).

\(L = \lim \left( {\frac{2}{1} - \frac{2}{2} + \frac{2}{2} - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{4} + ... + \frac{2}{n} - \frac{2}{{n + 1}}} \right)\)\( = \lim \left( {\frac{2}{1} - \frac{2}{{n + 1}}} \right)\)\( = 2\).

Lời giải

Chọn A

Ta có \[\lim \frac{{2{n^3} + {n^2} - 4}}{{a{n^3} + 2}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {2 + \frac{1}{n} - \frac{4}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {a + \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}} = \frac{2}{a} = \frac{1}{2}\].

Suy ra \[a = 4\]. Khi đó \[a - {a^2} = 4 - {4^2} =  - 12\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

A. \(I = + \infty \)     
B. \(I = \frac{3}{2}\)             
C. \(I = 1,499\)        
D. \(I = 0\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP