Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = a\), \(a > 0\) (phần tô đậm trong hình vẽ) được tính theo công thức

a) Đúng. Ta có \(V\left( t \right) = \int {V'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {k.\sqrt t {\rm{d}}t} } \).

Vậy hàm số \(V\left( t \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( t \right) = k.\sqrt t \).

b) Đúng. Ta có \(V\left( t \right) = \int {V'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {k.\sqrt t {\rm{d}}t} }  = \frac{{2k}}{3}.t\sqrt t  + C\), với \(0 \le t \le 24\) và \(k,\,\,C\) là các hằng số.

c) Sai. Do ban đầu bể chứa dầu ban đầu có \(50000\) lít dầu nên \(V\left( 0 \right) = 50\,000 \Rightarrow C = 50\,000\).

Mặt khác sau 4 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt \(58000\) lít nên ta có:

\(V\left( 4 \right) = \frac{{2k}}{3}.4\sqrt 4  + 50000 = 58000 \Leftrightarrow k = 1500\).

Vậy \(V\left( t \right) = 1\,000.t\sqrt t  + 50\,000\).

Sau 16 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt được:

\(V\left( {16} \right) = 1\,000.16\sqrt 6  + 50\,000 = 114\,000\) lít.

d) Đúng. Trong quá trình bơm dầu, nếu sau mỗi giờ lượng dầu bị rò rỉ đều đặn với tốc độ \(500\) lít/giờ, thì tại thời điểm \(t\) bằng 9 giờ, thể tích dầu trong bể là

\(V\left( 9 \right) = 1\,000.9\sqrt 9  + 50\,000 - 500.9 = 72\,500\) lít.

Thể tích cát ban đầu là: \(\int\limits_0^{20} {v\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int\limits_0^{20} {0,2t + 13\,{\rm{d}}t}  = 300\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

Bán kính đường tròn đáy parabol tròn xoay khi chiều cao cát còn 4cm là: \(\frac{{8\pi }}{{2\pi }} = 4\).

Xét parabol \(\left( P \right):y = a\sqrt x \) đi qua điểm \(A\left( {4;4} \right)\) như hình vẽ

Ta có: \(A\left( {4;4} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow 4 = a\sqrt 4  \Rightarrow a = 2\). Suy ra \(\left( P \right):y = 2\sqrt x \).

Khi đó thể tích parabol tròn xoay tạo ra bằng cách xoay hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = h\) quanh trục \(Ox\) là:

\(V = \pi \int\limits_0^h {{{\left( {2\sqrt x } \right)}^2}{\rm{d}}x}  = \frac{{4\pi {x^2}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^h}\\{_0}\end{array}} \right. = 2\pi {h^2}\) (đvtt).

Suy ra: \(2\pi {h^2} = 300\) \( \Rightarrow h = \sqrt {\frac{{150}}{\pi }} \).

Vậy chiều cao khối trụ bên ngoài là: \(2.\left( {\frac{3}{2}.\sqrt {\frac{{150}}{\pi }} } \right) \approx 21\,\,{\rm{cm}}\).

Đáp án: 21.