Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\), \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^2 {f'\left( x \right){\rm{d}}x = - 3} \). Tính \(f\left( 2 \right).\)

Thể tích cát ban đầu là: \(\int\limits_0^{20} {v\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int\limits_0^{20} {0,2t + 13\,{\rm{d}}t}  = 300\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

Bán kính đường tròn đáy parabol tròn xoay khi chiều cao cát còn 4cm là: \(\frac{{8\pi }}{{2\pi }} = 4\).

Xét parabol \(\left( P \right):y = a\sqrt x \) đi qua điểm \(A\left( {4;4} \right)\) như hình vẽ

Ta có: \(A\left( {4;4} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow 4 = a\sqrt 4  \Rightarrow a = 2\). Suy ra \(\left( P \right):y = 2\sqrt x \).

Khi đó thể tích parabol tròn xoay tạo ra bằng cách xoay hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = h\) quanh trục \(Ox\) là:

\(V = \pi \int\limits_0^h {{{\left( {2\sqrt x } \right)}^2}{\rm{d}}x}  = \frac{{4\pi {x^2}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^h}\\{_0}\end{array}} \right. = 2\pi {h^2}\) (đvtt).

Suy ra: \(2\pi {h^2} = 300\) \( \Rightarrow h = \sqrt {\frac{{150}}{\pi }} \).

Vậy chiều cao khối trụ bên ngoài là: \(2.\left( {\frac{3}{2}.\sqrt {\frac{{150}}{\pi }} } \right) \approx 21\,\,{\rm{cm}}\).

Đáp án: 21.

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0, do đó \( - 4t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 5\) (giây).

Từ lúc giảm ga và kéo phanh đến khi dừng hẳn, mô tô di chuyển được quãng đường là:

\(S = \int\limits_0^5 {v\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int\limits_0^5 {\left( { - 4t + 20} \right){\rm{d}}t}  = 50\) (mét).

Đáp án: 50.