Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao của mực cát bằng \(\frac{2}{3}\) chiều cao của bên đó (xem hình vẽ). Cát chảy từ trên xuống dưới với tốc độ \(v\left( t \right) = 0,2t + 13\,\) (cm³/phút). Khi chiều cao của cát còn 4cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi bằng \(8\pi \)cm. Biết sau 20 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài bằng bao nhiêu centimet? (Nếu kết quả là số thập phân thì làm tròn đến hàng đơn vị).

Chọn A

Diện tích hình phẳng: \[S = \int\limits_0^a {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^c {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  + \int\limits_c^a {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}  - \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \].

a) Đúng.

b) Đúng. \[\int {v\left( t \right){\rm{dt}}}  = \int {\left( { - 10t + 20} \right)\,{\rm{dt}}}  =  - 5{t^2} + 20t + C\].

Suy ra: \[S\left( t \right) =  - 5{t^2} + 20t + C\]; \[S\left( 0 \right) = 0\]\[ \Rightarrow C = 0\]\[ \Rightarrow S\left( t \right) =  - 5{t^2} + 20t\].

c) Sai. Ô tô dừng hẳn khi \[v\left( t \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow t = 2\].

d) Đúng. \[65\,{\rm{km/h}}\,{\rm{ = }}\,\,\frac{{325}}{{18}}\,{\rm{m/s}}\].

Người lái xe phản ứng một giây khi phát hiện chướng ngại vật, sau giây đó ô tô đi được \[\frac{{325}}{{18}}\,\left( {\rm{m}} \right).\]

Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là:

\[S\left( 2 \right) =  - {5.2^2} + 20.2 = 20\,\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy quãng đường ô tô đi được kể từ lúc phát hiện chướng ngại vật đến khi ô tô dừng hẳn là:

\[\frac{{325}}{{18}} + 20 = \frac{{685}}{{18}}\,\left( {\rm{m}} \right) < 50\,\left( {\rm{m}} \right)\]. Suy ra, ô tô không va chạm vào chướng ngại vật trên đường.