Cho một viên gạch men có dạng hình vuông \(OABC\) như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có \(O\left( {0\,;\,0} \right)\), \(A\left( {0\,;\,1} \right)\), \(B\left( {1\,;\,1} \right)\), \(C\left( {1\,;\,0} \right)\) và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) và \(y = \sqrt[3]{x}.\)

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\), trục \(Ox\), đường thẳng\(x = 0\) và đường thẳng \(x = 1\) được tính bằng công thức \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt[3]{x}} \right|} \,{\rm{d}}x\).

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục \(Ox\),đường thẳng \(x = 0\) và đường thẳng \(x = 1\) có giá trị bằng \(\frac{3}{4}\)(đvdt).

c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) và \(y = \sqrt[3]{x}\), đường thẳng\(x = 0\) và đường thẳng \(x = 1\) được tính bằng công thức \[S = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - \sqrt[3]{x}} \right){\rm{d}}x} \].

d) Diện tích phần không được tô đậm trên viên gạch men có giá trị bằng \(\frac{1}{2}\)(đvdt).

a) Đúng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\), đường thẳng \(x = a,x = b\) được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x} \).

b) Sai. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục \(Ox\), đường thẳng \(x = 0\) và đường thẳng \(x = 1\).

Ta có \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3}} \right|{\rm{d}}x}  = \frac{{{x^4}}}{4}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{4}\)(đvdt).

c) Sai. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng\(x = a\) và đường thẳng \(x = b\) được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \), vì phần đồ thị của hàm số \(y = {x^3}\) nằm dưới phần đồ thị của hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\), nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) và \(y = \sqrt[3]{x}\), đường thẳng\(x = 0\) và đường thẳng \(x = 1\) được tính bằng công thức \(S = \int\limits_0^1 {\left( { - {x^3} + \sqrt[3]{x}} \right){\rm{d}}x} \).

d) Đúng. Diện tích hình vuông có cạnh bằng \(1\) là \(S = {1^2} = 1\)(đvdt).

Gọi \({S_1}\) là diện tích phần tô đậm: \[{S_1} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt[3]{x} - {x^3}} \right)\,} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} - {x^3}} \right)} {\rm{d}}x = \left( {\frac{3}{4}{x^{\frac{4}{3}}} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{2}\](đvdt),

Vậy diện tích phần không được tô đậm trên viên gạch men bằng \(S - {S_1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)(đvdt).