Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm \(t\) tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức \(P'\left( t \right) = 8t + 30\) (con/tháng), với \(P\left( t \right)\) là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm \(t\) tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.

a) Sai. Ta có: \(\int {\left( {{t^2} - 8t} \right){\rm{d}}t}  = \frac{{{t^3}}}{3} - 4{t^2} + C\).

b) Sai. Ta có: \(f'\left( t \right) > 0\,\,\)khi \(8 < t < 10\) và \(f'\left( t \right) < 0\,\,\)khi \(3 < t < 8\).

Nên số lượng vi sinh vật giảm trong khoảng từ 3 giờ đến 8 giờ, sau đó tăng dần trong khoảng 8 giờ đến 10 giờ.

c) Đúng. Bảng biến thiên của \(f\left( t \right)\):

d) Đúng. \(f\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} - 4{t^2} + C\). Do \(f\left( 3 \right) = 50 \Rightarrow \frac{{{3^3}}}{3} - {4.3^2} + C = 50 \Rightarrow C = 77\).

Suy ra \(f\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - 4{t^2} + 77 \Rightarrow f\left( 6 \right) = 5\).

a) Đúng. \[h\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int {\left( { - 0,8t + 4,16} \right){\rm{d}}t}  =  - 0,4{t^2} + 4,16t + C\].

Mà \[h\left( 0 \right) = 2,2\] nên \[C = 2,2\] nên \[h\left( t \right) =  - 0,4{t^2} + 4,16t + 2,2\,\left( {\rm{m}} \right)\].

b) Đúng. Quả cầu đạt độ cao cao nhất tại thời điểm \[t =  - \frac{{4,16}}{{2.\left( { - 0,4} \right)}} = 5,2\,\left( {\rm{s}} \right)\].

c) Đúng. Độ cao cao nhất của quả cầu bằng \[h\left( {5,2} \right) = 13,016\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].

d) Sai. Quả cầu chạm đất khi \[h\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - \,0,4\,{t^2} + 4,16t + \,2,2 = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \approx 10,9\\t \approx  - 0,5\,\end{array} \right.\].

Vì \[t > 0\] nên chọn \[t \approx 10,9\,\left( {\rm{s}} \right)\].