Gọi \(V\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,\) \(y = 0\) và \(x = 4\) quanh trục \(Ox\). Đường thẳng \(x = a\,\,\left( {0 < a < 4} \right)\) cắt đồ thị hàm số \[y = \sqrt x \] tại \(M\) (xem hình vẽ sau). Gọi \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác \(OMH\) quanh trục \(Ox\). Biết rằng \(V = 2{V_1}\). Khi đó giá trị của \[a\] là bao nhiêu?

a) Sai. Ta có: \(\int {\left( {{t^2} - 8t} \right){\rm{d}}t}  = \frac{{{t^3}}}{3} - 4{t^2} + C\).

b) Sai. Ta có: \(f'\left( t \right) > 0\,\,\)khi \(8 < t < 10\) và \(f'\left( t \right) < 0\,\,\)khi \(3 < t < 8\).

Nên số lượng vi sinh vật giảm trong khoảng từ 3 giờ đến 8 giờ, sau đó tăng dần trong khoảng 8 giờ đến 10 giờ.

c) Đúng. Bảng biến thiên của \(f\left( t \right)\):

d) Đúng. \(f\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} - 4{t^2} + C\). Do \(f\left( 3 \right) = 50 \Rightarrow \frac{{{3^3}}}{3} - {4.3^2} + C = 50 \Rightarrow C = 77\).

Suy ra \(f\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - 4{t^2} + 77 \Rightarrow f\left( 6 \right) = 5\).

Để tính diện tích phần đổ bê tông, ta cần xác định diện tích giữa hai đường cong \(AB\) và \(DC\)

Đường cong DC là kết quả của việc tịnh tiến đường cong \(AB\) lên trên \(2\)m.

Giả sử hàm số của đường cong \(AB\) là \(f\left( x \right)\) thì hàm số của đường cong \(DC\) là \(f\left( x \right) + 2\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong là: \[S = \int\limits_0^{10} {\left[ {f\left( x \right) + 2 - f\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x = 20\,{{\rm{m}}^2}\].

Lớp bê tông có độ dày là \(15\)cm tức là \(0,15\)m thì có thể tích là: \(20.0,15 = 3{{\rm{m}}^3}\).

Chi phí tổng cộng để đổ bê tông con đường đó là: \(3.1\,080\,000 = 3\,240\,000\) (đồng).