Một công ty xây dựng một hệ thống giám sát môi trường tại khu công nghiệp. Hai cảm biến không dây được đặt tại hai vị trí \(A,\,B\) trong không gian 3 chiều để thu thập dữ liệu không khí. Để đảm bảo tín hiệu truyền giữa hai cảm biến ổn định, công ty thiết kế một bóng bảo vệ tín hiệu hình cầu di động nhưng luôn đi qua cả hai cảm biến \(A\) và \(B\). Bóng này cần tiếp xúc với mặt đất để đảm bảo tính ổn định. Giả sử trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), toạ độ các điểm là \(A\left( {3;5; - 2} \right)\), \(B\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt đất được mô tả bằng mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z + 9 = 0.\) Trong quá trình mô phỏng, điểm tiếp xúc giữa bóng bảo vệ và mặt đất (gọi là \(C\)) thay đổi. Kỹ sư cần xác định khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) đến điểm tiếp xúc \(C\) để đánh giá mức độ ảnh hưởng từ vị trí đặt thiết bị. Gọi \({m_1}\) là giá trị lớn nhất và \({m_2}\) là giá trị nhỏ nhất của độ dài \(OC.\) Tính giá trị \({m_1}^2 + {m_2}^2.\)

Quảng cáo
Trả lời:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2;4} \right) = - 2\left( {2;1; - 2} \right)\\\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {{n_P}} \) cùng phương nên \(\overrightarrow {AB} \bot \left( P \right)\), \(AB = 6\).
\(d\left( {A,\;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 5 - 2.\left( { - 2} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 8\) và \(d\left( {B,\;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 3 - 2.2 + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 2\).
\(AB \cap \left( P \right) = M \Rightarrow M\) cố định.
Do \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(C\) nên \(MC \bot IC\) tại \(C\).
\( \Rightarrow MA.MB = M{C^2}\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MA = d\left( {A;\;\left( P \right)} \right) = 8\\MB = d\left( {B;\left( P \right)} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow M{C^2} = 16 \Leftrightarrow MC = 4\).
\( \Rightarrow C\) thuộc đường tròn tâm \(M\) bán kính \(r = MC = 4\).
Ta có: \(AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 5 + t\\z = - 2 - 2t\end{array} \right.\), \(M = AB \cap \left( P \right) \Rightarrow M\left( { - \frac{7}{3};\frac{7}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O\left( P \right)} \right) = 3\), \(OH:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\\z = - 2t\end{array} \right.\).
\(H = OH \cap \left( P \right)\)\( \Leftrightarrow H\left( { - 2;\; - 1;\;2} \right)\), \(HM = \sqrt {13} < 4\) nên \(H\) nằm trong đường tròn tâm \(M\) bán kính \(r = MC = 4\). Suy ra \(OC = \sqrt {O{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {9 + H{C^2}} \).
\( \Rightarrow OC\) đạt min hoặc max \( \Leftrightarrow HC\) đạt min hoặc max
\(\left\{ \begin{array}{l}H{C_{\min }} = \left| {HM - r} \right| = 4 - \sqrt {13} \\H{C_{\max }} = HM + r = 4 + \sqrt {13} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O{C_{\min }} = \sqrt {9 + \left( {4 - {{\sqrt {13} }^2}} \right)} = {m_2}\\O{C_{\max }} = \sqrt {9 + {{\left( {4 + \sqrt {13} } \right)}^2}} = {m_1}\end{array} \right.\).
Vậy \({m_1}^2 + {m_2}^2 = 76\).
Đáp án: 76.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \(\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {0^2}} = 5\), \(\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| = \sqrt {{5^2} + {{12}^2} + {0^2}} = 13\), \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2} + {4^2}} = 5\).
Vận tốc thực tế của máy bay Su-30 là \(\overrightarrow {{V_1}} = \frac{{900}}{{\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|}}\overrightarrow {{v_1}} + \frac{{80}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\overrightarrow u \) \( = \left( {492;720;64} \right)\).
Phương trình chuyển động của máy bay Su-30 là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 492t\\y = 35 + 720t\\z = 10 + 64t\end{array} \right.\).
Vận tốc thực tế của máy bay MiG-31 là \(\overrightarrow {{V_2}} = \frac{{910}}{{\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right|}}\overrightarrow {{v_2}} + \frac{{80}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\overrightarrow u \) \( = \left( {302;840;64} \right)\).
Phương trình chuyển động của máy bay MiG-31 là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 31 + 302t\\y = 10 + 840t\\z = 11 + 64t\end{array} \right.\).
Khu vực không phận bị hạn chế là \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 178} \right)^2} + {\left( {y - 430} \right)^2} \le 49\\0 \le z \le 43\end{array} \right.\).
Máy bay MiG-31 bay vào không phận bị hạn chế khi
\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {31 + 302t - 178} \right)^2} + {\left( {10 + 840t - 430} \right)^2} \le 49\\0 \le 11 + 64t \le 43\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 0,4918 \le t \le \frac{1}{2}\).
Do đó, thời điểm máy bay MiG-31 bay ra khỏi khu vực không phận bị hạn chế là \(t = 0,5\) (giờ).
Khi đó, vị trí của hai máy bay Su-30 và MiG-31 là \(A\left( {246;395;42} \right)\) và \(B\left( {182;430;43} \right)\).
Khoảng cách giữa chúng là \(AB \approx 73\) (km).
Đáp án: 73.
Câu 2
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 14\) và điểm \(M\left( { - 1;\, - 3;\, - 2} \right)\).
a) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \(I\left( { - 1;\, - 2;\, - 3} \right)\).
b) Khoảng cách từ tâm \(I\) đến điểm \(M\) là \(IM = 2\).
c) Điểm \(M\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
d) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(y - z + 5 = 0\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 14\) và điểm \(M\left( { - 1;\, - 3;\, - 2} \right)\).
a) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \(I\left( { - 1;\, - 2;\, - 3} \right)\).
b) Khoảng cách từ tâm \(I\) đến điểm \(M\) là \(IM = 2\).
c) Điểm \(M\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
d) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(y - z + 5 = 0\).
Lời giải
a) Đúng. Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \(I\left( { - 1;\, - 2;\, - 3} \right)\).
b) Sai. Ta có: \(IM = \sqrt {{{\left( { - 1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 3} \right)}^2}} = \sqrt 2 \).
c) Đúng. Ta có \(IM = \sqrt 2 \) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R = \sqrt {14} \)\( \Rightarrow IM < R\).
Vậy điểm \(M\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
d) Sai. Do điểm \(M\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) luôn cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn.
Gọi \(H\) là tâm của đường tròn giao tuyến \( \Rightarrow IH \bot \left( P \right)\), do đó bán kính đường tròn giao tuyến là \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {14 - I{H^2}} \). Suy ra bán kính \(r\) nhỏ nhất khi \(IH\) lớn nhất.
Ta có: \(IH \le IM \Leftrightarrow IH \le \sqrt 2 \, \Rightarrow \max IH = \sqrt 2 \) khi \(M\) trùng \(H\), khi đó \(IM \bot \left( P \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IM} = \left( {0;\, - 1;\,1} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(0.\left( {x + 1} \right) - \left( {y + 3} \right) + \left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y - z + 1 = 0\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.