Câu hỏi:

07/10/2025 3 Lưu

Một công ty xây dựng một hệ thống giám sát môi trường tại khu công nghiệp. Hai cảm biến không dây được đặt tại hai vị trí \(A,\,B\) trong không gian 3 chiều để thu thập dữ liệu không khí. Để đảm bảo tín hiệu truyền giữa hai cảm biến ổn định, công ty thiết kế một bóng bảo vệ tín hiệu hình cầu di động nhưng luôn đi qua cả hai cảm biến \(A\) và \(B\). Bóng này cần tiếp xúc với mặt đất để đảm bảo tính ổn định. Giả sử trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), toạ độ các điểm là \(A\left( {3;5; - 2} \right)\), \(B\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt đất được mô tả bằng mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z + 9 = 0.\) Trong quá trình mô phỏng, điểm tiếp xúc giữa bóng bảo vệ và mặt đất (gọi là \(C\)) thay đổi. Kỹ sư cần xác định khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) đến điểm tiếp xúc \(C\) để đánh giá mức độ ảnh hưởng từ vị trí đặt thiết bị. Gọi \({m_1}\) là giá trị lớn nhất và \({m_2}\) là giá trị nhỏ nhất của độ dài \(OC.\) Tính giá trị \({m_1}^2 + {m_2}^2.\)
Một công ty xây dựng một hệ thống giám sát môi trường tại khu công nghiệp. Hai cảm biến không dây được đặt tại hai vị trí A,B trong không gian 3 chiều để thu thập dữ liệu không khí. (ảnh 1)

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Một công ty xây dựng một hệ thống giám sát môi trường tại khu công nghiệp. Hai cảm biến không dây được đặt tại hai vị trí A,B trong không gian 3 chiều để thu thập dữ liệu không khí. (ảnh 2)

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 2;4} \right) =  - 2\left( {2;1; - 2} \right)\\\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;1; - 2} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {{n_P}} \) cùng phương nên \(\overrightarrow {AB}  \bot \left( P \right)\), \(AB = 6\).

\(d\left( {A,\;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 5 - 2.\left( { - 2} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 8\) và \(d\left( {B,\;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 3 - 2.2 + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 2\).

\(AB \cap \left( P \right) = M \Rightarrow M\) cố định.

Do \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(C\) nên \(MC \bot IC\) tại \(C\).

\( \Rightarrow MA.MB = M{C^2}\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MA = d\left( {A;\;\left( P \right)} \right) = 8\\MB = d\left( {B;\left( P \right)} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow M{C^2} = 16 \Leftrightarrow MC = 4\).

\( \Rightarrow C\) thuộc đường tròn tâm \(M\) bán kính \(r = MC = 4\).

Ta có: \(AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 5 + t\\z =  - 2 - 2t\end{array} \right.\), \(M = AB \cap \left( P \right) \Rightarrow M\left( { - \frac{7}{3};\frac{7}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O\left( P \right)} \right) = 3\), \(OH:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\\z =  - 2t\end{array} \right.\).

\(H = OH \cap \left( P \right)\)\( \Leftrightarrow H\left( { - 2;\; - 1;\;2} \right)\), \(HM = \sqrt {13}  < 4\) nên \(H\) nằm trong đường tròn tâm \(M\) bán kính \(r = MC = 4\). Suy ra \(OC = \sqrt {O{H^2} + H{C^2}}  = \sqrt {9 + H{C^2}} \).

\( \Rightarrow OC\) đạt min hoặc max \( \Leftrightarrow HC\) đạt min hoặc max

\(\left\{ \begin{array}{l}H{C_{\min }} = \left| {HM - r} \right| = 4 - \sqrt {13} \\H{C_{\max }} = HM + r = 4 + \sqrt {13} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O{C_{\min }} = \sqrt {9 + \left( {4 - {{\sqrt {13} }^2}} \right)}  = {m_2}\\O{C_{\max }} = \sqrt {9 + {{\left( {4 + \sqrt {13} } \right)}^2}}  = {m_1}\end{array} \right.\).

Vậy \({m_1}^2 + {m_2}^2 = 76\).

Đáp án: 76.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trạm kiểm soát không quân đang theo dõi hai máy bay chiến đấu Su-30 và MiG-31. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), đơn vị đo mỗi trục là \(1\) km và xem mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là mặt đất, tại cùng một thời điểm theo dõi ban đầu: máy bay chiến đấu Su-30 ở tọa độ \(A\left( {0;35;10} \right)\), bay theo hướng vectơ \(\overrightarrow {{v_1}}  = \left( {3;4;0} \right)\) với tốc độ không đổi \(900\) (km/h) và máy bay chiến đấu MiG-31 ở tọa độ \(B\left( {31;10;11} \right)\), bay theo hướng \(\overrightarrow {{v_2}}  = \left( {5;12;0} \right)\) với tốc độ không đổi \(910{\mkern 1mu} \,{\rm{(km/h)}}\). Khu vực này có gió mạnh thổi với vận tốc \(80\,{\rm{(km/h)}}\) theo hướng vectơ \(\vec u = \left( { - 3;0;4} \right)\), gió ảnh hưởng đến cả hai máy bay trong quá trình bay. Một khu vực không phận bị hạn chế bay đã được một quốc gia khác thiết lập, có dạng hình trụ với tâm đáy tại \(C\left( {178;430;0} \right)\), bán kính đáy \(7\)km, trục vuông góc với mặt đất và chiều cao \(43\)km. Máy bay MiG-31 có nhiệm vụ bay vào khu vực không phận bị hạn chế để thăm dò. Tại thời điểm máy bay chiến đấu MiG-31 bay ra khỏi khu vực không phận bị hạn chế thì khoảng cách giữa hai máy bay chiến đấu là bao nhiêu km? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải

Ta có \(\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {0^2}}  = 5\), \(\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| = \sqrt {{5^2} + {{12}^2} + {0^2}}  = 13\), \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2} + {4^2}}  = 5\).

Vận tốc thực tế của máy bay Su-30 là \(\overrightarrow {{V_1}}  = \frac{{900}}{{\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|}}\overrightarrow {{v_1}}  + \frac{{80}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\overrightarrow u \) \( = \left( {492;720;64} \right)\).

Phương trình chuyển động của máy bay Su-30 là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 492t\\y = 35 + 720t\\z = 10 + 64t\end{array} \right.\).

Vận tốc thực tế của máy bay MiG-31 là \(\overrightarrow {{V_2}}  = \frac{{910}}{{\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right|}}\overrightarrow {{v_2}}  + \frac{{80}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\overrightarrow u \) \( = \left( {302;840;64} \right)\).

Phương trình chuyển động của máy bay MiG-31 là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 31 + 302t\\y = 10 + 840t\\z = 11 + 64t\end{array} \right.\).

Khu vực không phận bị hạn chế là \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 178} \right)^2} + {\left( {y - 430} \right)^2} \le 49\\0 \le z \le 43\end{array} \right.\).

Máy bay MiG-31 bay vào không phận bị hạn chế khi

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {31 + 302t - 178} \right)^2} + {\left( {10 + 840t - 430} \right)^2} \le 49\\0 \le 11 + 64t \le 43\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 0,4918 \le t \le \frac{1}{2}\).

Do đó, thời điểm máy bay MiG-31 bay ra khỏi khu vực không phận bị hạn chế là \(t = 0,5\) (giờ).

Khi đó, vị trí của hai máy bay Su-30 và MiG-31 là \(A\left( {246;395;42} \right)\) và \(B\left( {182;430;43} \right)\).

Khoảng cách giữa chúng là \(AB \approx 73\) (km).

Đáp án: 73.

Lời giải

a) Sai. Vectơ vận tốc là \(\overrightarrow v  = \frac{{\overrightarrow {AB} }}{t} = \left( { - 4; - 1,5; - 0,5} \right)\).

b) Đúng. Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {320;148;45} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 40; - 15; - 5} \right)\)nên ta có phương trình đường thẳng là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 320 - 40t\\y = 148 - 15t\\z = 45 - 5t\end{array} \right.\).

c) Đúng. Phương trình chuyển động tại thời điểm \(t\) giây là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 320 - 4t\\y = 148 - 1,5t\\z = 45 - 0,5t\end{array} \right.\).

Vật chạm đất tức là \(z\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 45 - 0,5t = 0 \Leftrightarrow t = 90\).

d) Sai. Radar phát hiện khi \(r\left( t \right) = \sqrt {{{\left( {380 - 4t} \right)}^2} + {{\left( {148 - 1,5t} \right)}^2} + \left( {45 - 0,5{t^2}} \right)}  = 400\).

Giải phương trình ta được \(t \approx 0,11\).

Khi đó cao độ của vật là \(z\left( {0,11} \right) = 45 - 0,5.0,11 = 44,945 \approx 44,95\).

Câu 3

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 14\) và điểm \(M\left( { - 1;\, - 3;\, - 2} \right)\).

a) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \(I\left( { - 1;\, - 2;\, - 3} \right)\).

b) Khoảng cách từ tâm \(I\) đến điểm \(M\) là \(IM = 2\).

c) Điểm \(M\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).

d) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(y - z + 5 = 0\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

A. \[3x + z + 7 = 0\].       
B. \[3x - y - 7z + 1 = 0\].                                   
C. \[3x + y - 7 = 0\].     
D. \[3x + y - 7z - 3 = 0\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

A. \(M\left( {3;4; - 5} \right)\).                           
B. \(N\left( {2; - 5;3} \right)\).                
C. \(P\left( { - 3; - 4;5} \right)\).                          
D. \(Q\left( {2;5; - 3} \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

A. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 8\).                     
B. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 8\).
C. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 64\).                   
D. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 64\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP