Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích \(300\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\), lề trái và lề phải là 2 cm, lề trên và lề dưới là 3 cm. Gọi \(x\left( {{\rm{cm}}} \right)\) là chiều rộng của tờ giấy.

(a) Tính diện tích của tờ giấy theo \(x\).

(b) Kí hiệu diện tích tờ giấy là \(S\left( x \right)\). Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = S\left( x \right)\).

(c) Tìm kích thước của tờ giấy sao cho nguyên liệu giấy được sử dụng là ít nhất.

Để làm một cửa sổ có dạng một hình bán nguyệt và một hình chữ nhật ghép lại như hình vẽ bên dưới, người ta dùng \(8 {\rm{m}}\) dây thép để làm các đường viền. Gọi \(x, y\) là độ dài cạnh của khung hình chữ nhật.

(a) Chiều dài dây để uốn ra bán nguyệt là \(\frac{{\pi x}}{2}\).

(b) Giá trị của \(y\) tính theo \(x\) là \(4 - \frac{{x\left( {4 + \pi } \right)}}{4}\).

(c) Diện tích của cửa sổ là \(S = 4x - {x^2}\).

(d) Khi diện tích của cửa sổ lớn nhất thì \(y = \frac{{16}}{{8 + \pi }}\).

Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 8t + 1\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(s\left( t \right)\) tính bằng mét.

(a) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = 3\left( {\rm{s}} \right)\) bằng \(8{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\).

(b) Tại thời điểm mà chất điểm di chuyển được 13 m, vận tốc khi đó bằng \(8{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\).

(c) Vận tốc nhỏ nhất của chất điểm là \(5{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\).

(d) Gia tốc tại thời điểm chất điểm đạt vận tốc nhỏ nhất bằng \(2{\rm{\;m}}/{{\rm{s}}^2}\).

Tại một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nhân viên phụ trách sản xuất cho biết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất \(x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\) nước tinh khiết thì phải chi phí các khoản sau: 5 triệu đồng chi phí cố định; \(0,15\) triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; \(0,0005{x^2}\)chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là \(200\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Gọi \(C\left( x \right)\) là chi phí sản xuất \(x\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\) sản phẩm mỗi ngày và \(\overline c \left( x \right)\)là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm.

(a)\(C\left( x \right) = 0,0005{x^2} + 0,15x + 5\).

(b) Chi phí sản xuất \(100\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nước tinh khiết là 20 triệu đồng.

(c)\(\overline c \left( x \right) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x}\).

(d) Chi phí trung bình giảm xuống khi sản lượng nước tính khiết trong ngày không vượt quá 100 \({{\rm{m}}^3}\).

Nhân ngày quốc tế Phụ nữ 20 – 10 năm 2024. Ông M đã mua tặng vợ một món quà và đặt nó trong một chiếc hộp chữ nhật có thể tích là 32 (đvtt) có đáy là hình vuông và không nắp. Để món quà trở nên đặc biệt và xứng tầm với giá trị của nó, ông quyết định mạ vàng chiếc hộp, biết rằng độ dày của lớp mạ trên mọi điểm của chiếc hộp là không đổi và như nhau. Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là \[h\] và \[x\].

(a) Công thức tính thể tích chiếc hộp là \[V = {x^2}h\].

(b) Diện tích các mặt ngoài của chiếc hộp là \[S = 2{x^2} + 4xh\].

(c) Diện tích tất cả các mặt được mạ vàng là \[{S_{MV}} = 2{x^2} + 4xh\].

(d) Khi cạnh đáy của chiếc hộp \(x\) lớn hơn \(4\) thì \[x\] càng lớn, lượng vàng được mạ càng tăng.

Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

(a)Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.

(b)Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

(c) \(f\left( 1 \right) > f\left( 2 \right) > f\left( 4 \right)\).

(d)Trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\), giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(f\left( 1 \right)\).

B. Tự luận

Độ bền \(S\) của dầm gỗ hình chữ nhật tỉ lệ với tích của chiều rộng \(w\) và bình phương chiều sâu \(d\) của nó (xem hinh vẽ). Tìm kích thước của dầm gỗ bền nhất có thể được cắt từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính bằng 12 inch.

Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình dưới.

Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = 2\) là