Hai chiếc máy bay không người lái cùng bay lên từ một địa điểm. Sau một giờ bay, chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát về phía bắc 23 km và về phía tây 18 km, đồng thời cách mặt đất 2 km. Chiếc thứ hai cách điểm xuất phát về phía đông 22 km và về phía nam 27 km, đồng thời cách mặt đất 3 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét. Sau đúng một giờ bay, hai máy bay đó cùng bắn một mục tiêu di động trên mặt đất. Biết tổng khoảng cách từ mỗi máy bay đến mục tiêu là nhỏ nhất, lúc đó mục tiêu cách điểm xuất phát của hai máy bay bao nhiêu kilômét?

Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 8 m, rộng 6 m và cao 4 m có 2 cây quạt treo tường. Cây quạt \[A\] treo chính giữa bức tường 8 m và cách trần 1 m, cây quạt \[B\] treo chính giữa bức tường 6 m và cách trần 1,5 m. Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ bên dưới (đơn vị: mét). Biết điểm \[M\left( {x;y;z} \right)\] thuộc mặt phẳng chứa sàn nhà sao cho \[\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right|\] là nhỏ nhất, tính \[{x^2} + {y^2} + {z^2}\].

Nhà bác An được mô tả như hình vẽ bên dưới, trong đó phần thân nhà là hình hộp chữ nhật \(ABCD.EFGH\). Ngôi nhà được lợp ngói hai mái là hai hình chữ nhật \(PEHQ\) và \(PFGQ\), biết tam giác \(EFP\) là tam giác cân tại \(P\). Gọi \(T\) là trung điểm của cạnh \(DC\). Các kích thước của nhà lần lượt là \(AB = 6\,{\rm{m}}\), \(AE = 5\,{\rm{m}}\), \(AD = 8\,{\rm{m}}\), \(QT = 7\,{\rm{m}}\). Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho gốc tọa độ là điểm \(O\) thuộc đoạn \(AD\) sao cho \(OA = 2\,{\rm{m}}\) và các trục tọa độ tương ứng là các trục \(Ox,Oy,Oz.\)

(a) Toạ độ điểm \(A\) là \(\left( {2;0;0} \right)\).

(b) Vectơ \(\overrightarrow {AC} \) có toạ độ là \(\left( {6;6;0} \right)\).

(c) Mái nhà bác An được lợp bằng ngói đất nung Đất Việt, giá tiền mỗi viên ngói là \(11000\) đồng và để lợp được \(1\) \({{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) diện tích mái cần \(22\) viên ngói. Số tiền cần bỏ ra để mua ngói lợp mái nhà là \(13\,960\,000\) đồng (không kể hao phí do việc cắt và ghép các viên ngói, làm tròn kết quả đến hàng nghìn).

(d) Bác An muốn lắp một chiếc đèn lồng tại vị trí trung điểm của \(FG\) và đầu nguồn điện đặt tại vị trí \(O\). Bác ấy thiết kế đường dây điện nối từ \(O\) đến \(K\) sau đó nối đến chiếc đèn lồng. Độ dài đoạn dây điện nối tối thiểu bằng \(5 + 2\sqrt {10} \,\,{\rm{(m)}}\).

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm \[M\left( {500;\,200;\,10} \right)\] đến điểm \[N\left( {800;\,300;\,10} \right)\] trong 20 phút.

(a) Máy bay đang di chuyển theo hướng tiến lại gần vị trí đặt ra đa.

(b) Khoảng cách \[MN = 100\sqrt {10} \,{\rm{km}}\].

(c) Tốc độ của máy bay khi di chuyển từ \[M\] đến \[N\] là \[150\sqrt {10} \,{\rm{km/h}}\].

(d) Nếu tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 4 phút tiếp theo là \[Q\left( {a;\,b;\,c} \right)\] với \[a + b + c = 1191\].

Có ba lực cùng tác động vào một cái bàn như hình vẽ. Trong đó hai lực \({\vec F_1},\overrightarrow {{F_2}} \) có giá nằm trên mặt phẳng chứa mặt bàn, tạo với nhau một góc \(110^\circ \) và có độ lớn lần lượt là \(9{\rm{N}},\,\,4{\rm{N}}\), lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) vuông góc với mặt bàn và có độ lớn 7 N. Độ lớn hợp lực của ba lực trên là \(a\left( {\rm{N}} \right)\), tìm giá trị của \(a\) (kết quả quy tròn về số nguyên).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 1;3;2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( { - 3; - 1;2} \right)\). Tính \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \).

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \). Xác định góc \(\alpha \) giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khi \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\)