Bác An dự định làm bốn mái nhà của một ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp tứ giác đều và các mái kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng đó có làm được không?

Giả sử mái nhà của ngôi nhà được minh họa như hình vẽ trên. Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Gọi các cạnh đáy của hình chóp có độ dài là \(a\) và các cạnh bên có độ dài là \(b\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(OA = OB = OC = OD = a\sqrt 2 \).

Vì \(SO\) là đường cao của tam giác \(SOC\)nên \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}}  = \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} \).

Khi đó ta có: \(O\left( {0;0;0} \right);\,A\left( {\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),B\left( {0;\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};0} \right);D\left( {0;\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\) và \(S\left( {0;0;\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {SC}  = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right);\,\overrightarrow {DC}  = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\); \(\,\overrightarrow {BC}  = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\).

Mặt khác: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {SC} ;\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right] = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\);

\(\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {SC} ;\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} \) làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_2}} \) làm một vectơ pháp tuyến.

Vì \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = \frac{{ - {a^2}}}{2} \ne 0\) do đó hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) không vuông góc với nhau.

Do đó ý tưởng trên không thực hiện được.