Bác An dự định làm bốn mái nhà của một ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp tứ giác đều và các mái kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng đó có làm được không?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Giả sử mái nhà của ngôi nhà được minh họa như hình vẽ trên. Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Gọi các cạnh đáy của hình chóp có độ dài là \(a\) và các cạnh bên có độ dài là \(b\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(OA = OB = OC = OD = a\sqrt 2 \).
Vì \(SO\) là đường cao của tam giác \(SOC\)nên \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} \).
Khi đó ta có: \(O\left( {0;0;0} \right);\,A\left( {\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),B\left( {0;\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};0} \right);D\left( {0;\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\) và \(S\left( {0;0;\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {SC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right);\,\overrightarrow {DC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\); \(\,\overrightarrow {BC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\).
Mặt khác: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ;\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right] = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\);
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ;\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} \) làm một vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_2}} \) làm một vectơ pháp tuyến.
Vì \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = \frac{{ - {a^2}}}{2} \ne 0\) do đó hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) không vuông góc với nhau.
Do đó ý tưởng trên không thực hiện được.
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\). Khi đó ta có:
\({\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = 36 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2a - 12b - 6c + 10 = 0\) \(\left( 1 \right)\)
\({\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b - 8} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = 49 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 8a - 16b - 2c + 32 = 0\) \(\left( 2 \right)\)
\({\left( {a - 9} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 144 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 18a - 12b - 14c + 22 = 0\) \(\left( 3 \right)\)
\({\left( {a + 15} \right)^2} + {\left( {b - 18} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 576 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 30a - 36b - 14c + 22 = 0\) \(\left( 4 \right)\)
Giải hệ gồm 4 phương trình trên ta được \(a = 1;b = 2;c = - 1\) nên \(M\left( {1;2; - 1} \right)\).
Vậy \(T = 1 + 2 + \left( { - 1} \right) = 2\).
Đáp án: 2.
Lời giải
Phương trình tham số của đường cáp là: \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1 - 2k\\z = 5 + 6k\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( {k \in \mathbb{R}} \right)}\end{array}\]
Do tốc độ chuyển động của cabin là \(4\,{\rm{m/s}}\) nên độ dài \(AM = 4t\) \(\left( m \right)\).
Vì vậy sau \[5\] (s) kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm \[M\] thì \(AM = 4.5 = 20\) \(\left( m \right)\).
Vì \[M \in d \Rightarrow M\left( { - 2;1 - 2k;5 + 6k} \right)\].
\[\overrightarrow {AM} = \left( {0; - 2k;6k} \right)\]. Do 2 vec tơ \[\overrightarrow {AM} ;\vec u\] cùng hướng \(k > 0\).
\(AM = 20 \Leftrightarrow \sqrt {{0^2} + 4{k^2} + 36{k^2}} = 20 \Leftrightarrow 40{k^2} = 400 \Leftrightarrow k = \pm \sqrt {10} \).
Vì \(k > 0 \Rightarrow k = \sqrt {10} \).
Vậy tọa độ \[M\left( { - 2;1 - 2\sqrt {10} ;5 + 6\sqrt {10} } \right)\]. Khi đó \[a + 3b + c = - 2 + 3\left( {1 - 2\sqrt {10} } \right) + 5 + 6\sqrt {10} = 6\].
Đáp án: 6.
Câu 3
A.
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 8\).
B.
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\).
C.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 8\).
D.
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 2\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
B.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 3\).
C.
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
D.
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo