Biết \(F\left( x \right) = {e^x} + 2{x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên ℝ. Khi đó \(\int {f\left( {2x} \right)dx} \) bằng

Biết rằng hàm số \(F\left( x \right) = x + 2024\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\); hàm số \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{4} + 2025\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\). Gọi \(H\left( x \right) = \int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} \), biết \(H\left( 4 \right) = 4\). Tính \(H\left( 1 \right)\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 4{\cos ^2}\frac{x}{2}\).

a) \(\int {f\left( x \right)dx}  =  - 2\sin x + C\).

b) Biết rằng \(\int {f\left( x \right)} dx = ax + b\sin x + C,a,b \in \mathbb{Z}\). Khi đó \(a + b = 4\).

c) Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 1\) là \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + 1\).

d) Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) là \(F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) - \pi \).

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}\).

a) \(\int {f\left( x \right)} dx = x + \ln \left| x \right| + C\).

b) Nếu \(F\left( 1 \right) = 0\) thì \(F\left( 2 \right) = 2 + \ln 2\).

c) \(F\left( {2x} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( {2x} \right)\).

d) Hàm số \(f\left( {{e^x}} \right)\) có một nguyên hàm là \(2x + {e^{ - x}}\).

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Biết \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x - 3} \) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{20{x^2} - 30x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }}\) trên khoảng \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\). Tính \(P = abc\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) với \(x \ne 1\).

a) \(f\left( x \right) = 2 + \frac{3}{{x - 1}}\).

b) \(\int {f\left( x \right)dx}  = 2x + 2\ln \left( {x - 1} \right) + C\).

c) Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 2 \right) = 1\) là \(F\left( x \right) = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| - 3\).

d) Phương trình \(F\left( x \right) = 2x + 2\) có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\). Khi đó \(T = {x_1} + {x_2} = 2\).