Ông A dự định xây “tường cong” trong sân trượt patin là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3,5 m. Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng AB = 4m. Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với AB tại A là một hình tam giác vuông cong ACE với AC = 4m, CE = 3,5m và cạnh cong AE nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí M là trung điểm của AC thì đường cong có độ cao 1m (xem hình). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó.

Đưa hình vẽ về dạng của hàm số \(y = a\sqrt x \)

Chọn hệ trục Oxy với Ox đi qua chính giữa trục của mảnh đất (theo chiều của chiều cao), gốc tọa độ O cách điểm chính giữa của đoạn AB là 4, khi đó ta có \({y_B} = 4;{y_C} = 6\) nên B(4; 4), C(9; 6).

Do đó ta tìm được a = 2.

Suy ra \(S = 2\int\limits_4^9 {2\sqrt x dx}  = \frac{{152}}{3} \approx 50,7\).

Trả lời: 50,7.

a) \(\int\limits_2^5 {f'\left( x \right)dx}  = \left. {f\left( x \right)} \right|_2^5 = f\left( 5 \right) - f\left( 2 \right)\).

b) \(\int\limits_2^3 {f'\left( x \right)dx}  = \left. {f\left( x \right)} \right|_2^3 = f\left( 3 \right) - f\left( 2 \right) =  - 1 - 0 =  - 1\).

c) Có \(S = \int\limits_2^3 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx}  =  - \int\limits_2^3 {f'\left( x \right)dx}  = \left. { - f\left( x \right)} \right|_2^3 =  - f\left( 3 \right) + f\left( 2 \right) = 1 + 0 = 1\).

d) \(\int\limits_2^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_2^3 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx}  + \int\limits_3^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} \)\( =  - \int\limits_2^3 {f'\left( x \right)dx}  + \int\limits_3^5 {f'\left( x \right)dx} \)\( = 1 + \left. {f\left( x \right)} \right|_3^5 = 1 + f\left( 5 \right) - f\left( 3 \right) = 2 + f\left( 5 \right)\).

Mà \(\int\limits_2^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx}  = 5\)\( \Leftrightarrow 2 + f\left( 5 \right) = 5 \Rightarrow f\left( 5 \right) = 3\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Sai.