Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là \(s\left( t \right) = - \frac{{{t^2}}}{{10}} + 4t\), với t (giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và s (km) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào dòng nước có vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h. Tính khoảng cách (km) xa mà con cá hồi có thể bơi ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng.

Một vật chuyển động với gia tốc \(a\left( t \right) = 4\cos t\) (m/s²). Tại thời điểm bắt đầu chuyển động vật có vận tốc bằng 0.

a) Vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số \(v\left( t \right) = 4\cos t\) (m/s).

b) Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{6}\) là 2 m/s.

c) Tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{4}\) (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vật là \(\sqrt 2 \) m/s.

d) Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{4}\) (s) là \(2\sqrt 2 \) (m/s²).

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Nguyên hàm \(\int {\left( {7 + 5{{\cot }^2}x} \right)dx} = ax + b{\cot ^c}x + C\) (với a, b, c là các số nguyên dương).

Tính \(a + 4b + c\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) với \(x \ne 1\).

a) \(f\left( x \right) = 2 + \frac{3}{{x - 1}}\).

b) \(\int {f\left( x \right)dx} = 2x + 2\ln \left( {x - 1} \right) + C\).

c) Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 2 \right) = 1\) là \(F\left( x \right) = 2x + 3\ln \left| {x - 1} \right| - 3\).

d) Phương trình \(F\left( x \right) = 2x + 2\) có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\). Khi đó \(T = {x_1} + {x_2} = 2\).

Biết \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x - 3} \) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{20{x^2} - 30x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }}\) trên khoảng \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\). Tính \(P = abc\).

Trong thí nghiệm nuôi cấy một loại vi sinh vật, giả sử \(f\left( x \right)\) là tổng số lượng vi sinh vật sau x giờ làm thí nghiệm. Biết rằng sau 3 giờ đầu tiên thì tổng số lượng vi sinh vật là 50 con. Trong 7 giờ tiếp theo, số lượng vi sinh vật thay đổi với tốc độ tăng trưởng là \(f'\left( x \right) = {x^2} + 8x\) (con/giờ). Tính số lượng vi khuẩn sau 6 giờ tính từ lúc bắt đầu làm thí nghiệm.